信号与系统课件35.ppt

第三章主要内容 第三章主要内容 §3.1 引言 3.2 周期信号的傅里叶级数分析 三角函数形式的傅里叶级数 指数函数形式的傅里叶级数 函数的对称性与傅里叶系数的关系 傅里叶有限级数与最小方均误差 例如:周期三角函数是偶函数 周期奇函数只含正弦项 例如周期锯齿波是奇函数 奇谐函数 ： 沿时间轴移半个周期， 反转后波形不变；半周期对称。 例：利用傅立叶级数的对称性判断所含有的频率分量 四、傅里叶有限级数 如果完全逼近，则 n=∞ ; 实际中，n=N, N是有限整数。 如果 N愈接近 n ，则 其均方误差愈小 若用2N＋1项逼近，则 误差函数和均方误差 误差函数 均方误差 例如: 对称方波, 是偶函数且奇谐函数 对称方波有限项的傅里叶级数 N=1 N=3 N=5 有限项的N越大，误差越小例如: N=11 由以上可见： N越大，越接近方波 快变信号，高频分量，主要影响跳变沿； 慢变信号，低频分量，主要影响顶部； 任一分量的幅度或相位发生相对变化时，波形将会失真 有吉伯斯现象发生 小结 本次课主要介绍了周期信号的傅立叶级数分析,介绍了三角形式和指数形式的傅立叶级数表示方法,两种频谱的结构特点等了分析,再对偶函数,奇函数,奇谐函数的级数特点作为分析.最后介绍了吉布斯现象. 思考题 1、什么叫完备的正交函数集？ 2、吉伯斯现象是如何产生的？ 作业 P160 3-1 3-4 例：已知某周期信号的单边频谱如图所示，试写出该信号的时域表达式，并画出其双边频谱。 解: 双边幅度频谱 双边相位频谱 双边频谱: 12 8 4 周期信号频谱的特点 （1）离散性 -------- 频谱是离散的而不是连续的，这种频谱, 称为离散频谱。 （2）谐波性 ----- 谱线出现在基波频率 的整数倍上。 （3）收敛性 -------- 幅度谱的谱线幅度随着 而逐渐衰减到零。 周期信号的功率谱 称为帕什瓦尔定理或功率等式 表明周期信号在时域中的平均功率等于频域中的直流分量和各次谐波分量的平均功率之和。 周期信号能够进行傅里叶级数展开的一组充分条件： (1)在一周期内,信号是绝对可积的,即 等于有限值. (2)在一周期内,如果有间断点存在,则间断点的数目应是有限个. (3)在一周期内,极大值和极小值的数目应是有限个. 狄利克雷(Dirichlet)条件 三、函数的对称性与傅里叶系数的关系 三种对称： 偶函数 ：f (t )=f (-t) 奇函数 ：f (t )= - f (-t) 奇谐函数 ：半周期对称 任意周期函数有： 周期偶函数只含直流和 bn=0 Fn是实数 E f(t) T1/2 -T1/2 t Fn为虚数 E/2 -E/2 T1/2 -T1/2 f(t) t 0 T1/2 -T1/2 0 t f(t) 奇谐函数的偶次谐波的系数为0，只含有奇次谐波分量。 周期偶函数，奇谐函数，只含基波和奇次谐波的余弦分量 周期奇函数，奇谐函数，只含基波和奇次次谐波的正弦分量 T1/2 -T1/2 T1 T1/2 只含有正弦分量 含有直流分量和余弦分量 T1/2 T1 f(t) t 例：利用傅立叶级数的对称性判断所含有的频率分量 类推:偶谐函数? f(t)的傅里叶级数中包含直流分量和偶次谐波的正弦分量。 f(t)偶函数、偶谐函数，傅里叶级数中，只含有（直流）与偶次谐波的余弦分量 在偶谐函数的傅里叶级数中，只会含有（直流）与偶次谐波的正弦、余弦分量，而不会包含奇次谐波分量。 t -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 吉布斯现象:当选取的傅里叶项数越多,合成波形中出现的峰起越靠近f(t)的不连续点。当项数N很大时,峰起值趋于一个常数,约为总跳变值的9%,并从不连续点开始以起伏振荡的形式逐渐衰减下去。无论N多大，这个超量不变。 但是在不连续点附近波峰宽度趋近于零，所以波峰下面积也趋近于零，因而在能量的意义下部分和的波形收敛于原波形。 * * 1.周期信号的傅里叶级数的三角函数形式和指数形式；周期信号频谱的概念及特点，函数对称性与傅立叶级数系数的关系。 2.典型周期信号：周期矩形脉冲信号、周期三角脉冲信号、周期半波余弦信号、周期全波余弦信号频谱的