八年级数学教学竞赛 第11讲 等腰三角形的性质.docVIP

第十一讲 等腰三角形的性质 若按边(角)是否相等分类，两边(角)相等的三角形是等腰三角形．等腰三角形是一类特殊三角形，它的两底角相等；等腰三角形是轴对称图形，底边上的高、中线、顶角的平分线互相重合(简称三线合一)，特别地，等边三角形的各边相等，各角都为60°． 解与等腰三角形相关的问题，全等三角形依然是重要的工具，但更多的是思考运用等腰三角形的特殊性质，这些性质为角度的计算、线段相等的证明、直线位置关系的证明等问题提供了新的理论依据，因此，重视全等三角形的运用，又不囿于全等三角形，善于运用等腰三角形的性质探求新的解题途径． 例题求解 【例1】 如图AOB是一钢架，且∠AOB=10°，为使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF、FG、GH……添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管 根． (山东省聊城市中考题) 思路点拨 通过角度的计算，确定添加钢管数的最大值． 注 角是几何中最活跃的元素，与角相关的知识异常丰富，在三角形中，角又有独特的等量关系，如三角形内角和定理、内外角关系定理．等腰三角形两底角相等，利用这些定理可以找到角与角之间的“和”、“差”、“倍”、“分”关系． 随着知识的丰富，我们分析问题、解决问题的方法和工具随之增加，因此，在使用什么方法解决问题时，需要综合与选择． 【例2】如图，若AB=AC，BG＝BH，AK=KG，则∠BAC的度数为（ ) A．30° D．32° C 36° D．40° (武汉市选拔赛试题) 思路点拨 图中有很多相关的角，用∠BAC的代数式表示这些角，建立关于∠BAC的方程． 【例3】 如图，在△ABC中，已知∠A=90°，AB=AC，D为AC上一点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，问：当点D满足什么条件时，∠ADB＝∠CDF，请说明理由． (安徽省竞赛题改编题) 思路点拨 本例是探索条件的问题，可先假定结论成立，逐步逆推过去，找到相应的条件，若∠ADB＝∠CDF，这一结论如何用?因∠ADB与∠CDF对应的三角形不全等，故需构造全等三角形，而作顶角的平分线或底边上的高(中线)是等腰三角形中一条常用辅助线． 【例4】如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于E，且AE=BD．求证：BD是∠ABC的角平分线． (北京市竞赛题) 思路点拨 AE边上的高与∠ABC的平分线重合，联想到等腰三角形，通过作辅助线构造全等三角形、等腰三角形． 注 若巳知图形中不存在证题所需的全等三角形，我们需要添加辅助战，构造全等三角形，使欲证的线段或角转移位置，最终使问题得以解决． 结论探索型、条件探索型、存在性判断是探索型问题的基本形式，相应的解题策略是： (1)通过对符合条件的特例或简单情形的分析、观察、猜想结果，再给出证明； (2)假设结论成立，逆推追寻相应的条件； (3)假设在题设条件下的某一数学对象存在，进行推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定的结论． 【例5】如图，在△ABC中，已知∠C＝60°，ACBC，又△ABC′、△BCA′、△CAB′都是△ABC形外的等边三角形，而点D在AC上，且BC＝DC (1)证明：△C′BD≌△B′DC； (2)证明：△AC′D≌△DB′A； (3)对△ABC、△ABC′、△BCA′、△CAB′，从面积大小关系上，你能得出什么结论? (江苏省竞赛题) 思路点拨 (1)是基础，(2)是(1)的自然推论，(3) 由角的不等，导出边的不等关系，这是探索面积不等关系的关键． 学力训练 1．如图，△ABC中，已知AD＝AC，要使AD=AE，需要添加的一个条件是 ． (济南市中考题) 2．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，则这个等腰三角形底边的长为 ． 3．△ABC中，AB＝AC，∠A=40°，BP=CE，BD=CP，则∠DPF= 度． 4．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF＝AC，则∠ABC的大小是 ． (烟台市中考题) 5．△ABC的一个内角的大小是40°，且∠A=∠B，那么∠C的外角的大小是( ) A．140° B．80°或100° C ．100°或140° D．80°或140° 6．已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点F、F，给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形，③S= S；④E