哈工大数学实验Galton钉板问题.doc

Galton钉板问题 程序编写：XXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXX 报告撰写：XXXXXXXXXXXX 程序测试：三人共同完成 一、实验目的与要求 1.复习概率论中随机变量、概率分布、二项分布、均值和分布函数等概念。 2.理解Galton钉板实验中小球落入格子所服从的规律。 3.了解Matlab软件中进行动画演示的命令。 4.掌握Matlab软件中进行随机模拟的方法。 二、问题描述 所有现象的“因”和“果”，即“条件”和“结果”之间在客观上都存在着一定的规律，这种规律通常可以分成两类：一是确定性的规律，另一类是非确定性规律。对于确定性的系统，当已知条件是充分时，那么实验的结果也是确定的，即在每一次试验进行以前，可以预见试验产生的结果。但若条件不充分时，就无法预测试验的结果，这就产生了“因果律的缺失”的随机现象。随机现象在实践中是大量遇到的，如掷骰子。虽然无法由“因”预测“果”，但是当进行大量重复试验时，因果之间仍会呈现一种统计规律。概率方法建立在“重复试验”的基础上，统计规律只有在大量重复后才会呈现出来，诸如随机变量。分布、均值、方差等概念无一不体现了重复的思想。 以下围绕着Galton钉板模型来讨论。 Galton钉板试验是由英国生物统计学家Galton设计的。在一板上有n排钉子，图0所示的是n＝5的情况。图中15个圆点表示15颗钉子，在钉子的下方有6个格子，分别编号为0，1，2，3，4，5。自Galton钉板的上方扔进一个小球任其自由下落，在下落的过程中当小球碰到钉子时，从左边落下与从右边落下的机会相等、碰到下一排钉子时又是如此。最后落入底板中的某一个格子。 图0 Galton钉板模型（n＝5） 问题：1、一个一个从顶部放入k个小球，底槽中各格的理论频数应为多少？ 2、（1）编写一演示程序（用MATLAB语言），其界面与完成的基本功能如书中P121.图8.9所示； （2）利用自由度为4的Χ2分布临界值表及统计量 （其中vi为0~4号格子中第i个实验频数）。 检验假设 H0：所实验的分布服从B(4,p) 3、用类似方法模拟Poisson分布与几何分布。 三、问题分析 问题1、小球自上方落下，经过n个钉子。每经过一个钉子时只有两种可能结果：向右或向左。这是一个具有两个结果（成功和失败）的随机试验E，将向右视为成功，成功的概率为p，向左为失败，失败的概率为q=1-p。小球碰到一个钉子下落一格，相当于进行了一次试验E。小球自顶端落下，碰到n个钉子，最终落在某个格子的过程，恰好相当于将试验E重复了n次，因此一次投球过程就是一个n重贝努利试验（将仅有两个相互排斥结果的试验E独立重复n次，构成了n重贝努利试验En）。 n重贝努利试验的成功次数X正好是小球向右移动的次数，它是一个随机变量。根据概率论的结果有X~B(n,p)。对于一个随机变量，我们首先要弄清楚它的取值范围，X的取值范围为0,1,2…,n，这是什么意思呢？在Galton钉板模型中X＝0表示小球向右移动的次数，也就是小球一直向左移动，所以它恰好要落在编号为0的格子里；同理X＝1表示小球恰好要落在编号为1的格子里，依次类推，这就是说，X是小球最终落进的格子编号数，当然它也对应为小球向右移动的次数。 二项随机变量的分布列为： 则在Galton钉板实验中，p＝0.5，底槽中各格的频数应为k*pi。 问题2、演示程序已经完成，具体程序会在下文“实验过程”中体现，以下是演示结果如图1： 图1 Galton钉板问题演示结果 可以从界面看到，我们的演示程序能方便地对k和p的值进行修改再演示，同时还能统计落入每个格子的小球数。在演示界面下方，有一列是用来检验Χ2上侧α分位数是否满足等式 P[Χ2≥Χα2(n)]=α 我们在程序中设置了 α=(0.005,0.01,0.025,0.05,0.10,0.25,0.75,0.90,0.95,0.975,0.99)等12个值进行检验，发现只有前6个数可以通过检验。 问题3、Poisson分布与几何分布演示结果如图1和图2：  图2 Calton模拟Poisson分布演示结果 图3 Calton模拟几何分布演示结果 鉴于模拟的难度，我们在演示程序中设定了参数不可更改，尽管可能导致结果有偏差，但我们经过多次演示，发现偏差极小。 四、背景知识介绍 1、随机变量 随机变量是随机试验结果的函数，其特点是在试验前，并不能预知这个函数将取何值，这要凭机会，就是“随机”的意思。一旦试验后，取值就确定了。例如，我在3月31日买了一张奖券，到6月30日开奖。当我买这张奖券时，有人可以对我说：“你中奖的金额ξ是个随机的变量，其值在6月3