高数课件第二章第二节函数的极限.ppt

第二节 一、自变量趋于无穷大时函数的极限 例1. 证明 两种特殊情况 : 二、自变量趋于有限值时函数的极限 定义2 . 设函数 例2. 证明 例3. 证明 例4. 证明 例5. 证明: 当 三.函数的单侧极限( 左极限与右极限) 例6. 设函数 一、自变量趋于无穷大时函数的极限 自变量变化过程的六种形式: 二、自变量趋于有限值时函数的极限 本节内容 : 函数的极限 定义1 . 设函数 大于某一正数时有定义, 若 则称常数 时的极限, 几何解释: 记作 直线 y = A 为曲线 的水平渐近线 A 为函数 证: 取 因此 Note: 就有 故 欲使 即 直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 . 当 时, 有 当 时, 有 几何意义 : 例如， 都有水平渐近线 都有水平渐近线 又如， 1. 时函数极限的定义 引例. 测量正方形面积. 面积为A ) 边长为 (真值: 边长 面积 直接观测值 任给精度 ? , 要求 确定直接观测值精度 ? : 在点 的某去心邻域内有定义 , 当 时, 有 则称常数 A 为函数 当 时的极限, 或 即 当 时, 有 若 记作 几何解释: 极限存在 函数局部有界 这表明: 证: 故 对任意的 当 时 , 因此 总有 证: 欲使 取 则当 时 , 必有 因此 只要 证: 故 取 当 时 , 必有 因此 证: 欲使 且 而 可用 因此 只要 时 故取 则当 时, 保证 . 必有 左极限 : 当 时, 有 右极限 : 当 时, 有 定理 1 . 定理2. 注:上述两个定理表明 1 函数的单侧极限中,至少有一个不存在, 则函数极限不存在. 2 函数的单侧极限都存在但不相等, 则函数极限不存在. 讨论 时 的极限是否存在 . 解: 利用定理 1 . 因为 显然 所以 不存在 . Conclusions 1. 函数极限的 或 定义及应用 2. 函数的单侧极限: 左右极限等价定理 思考与练习 1. 若极限 存在, 2. 设函数 且 存在, 则 是否一定有 ？ 3.Let (a) Find (i) (ii) (b) Does exist? (c) Sketch the graph of F. 4.Use the Squeeze Theorem to show that * * * *