工程控制原理 第六章.ppt

第六章 系统的稳定性  稳定性是控制系统的重要性能指标之一，也是对控制系统的最基本要求。一个系统能否在实际中应用，首要的条件就是这个系统必须是稳定的。因此系统的稳定性分析是本书的重要章节。 6.1 系统稳定的条件一 、稳定性的概念1 系统的稳定现象举例。 2、 稳定性的定义 系统的稳定性：是指系统在使它偏离稳定平衡状态的扰动消除后，若系统在足够长的时间内能恢复到原来的平衡状态，或者趋于一个给定的新的平衡状态，则该系统是稳定的。 反之，若系统对于干扰的瞬态响应随时间的推移而不断扩大（b图）或发生持续震荡（C图）就是一般所谓的“自激振动” ,系统是不稳定。 只有稳定的系统才能正常工作。稳定性是系统去掉扰动之后自身的一种恢复能力，是系统的一种固有特征，这种固有的稳定性只取决于系统的结构参数，而与初始条件及外部作用无关。 a) b) c) 二、 系统稳定的充分必要条件:  根据稳定性定义，若系统稳定，则当其输入端加任意一干扰信号时，其对应的系统输出必随时间增长而衰减。即 其中，-p1, -p2,… -pn为系统n个两两相异的极点，即特征方程的根。 A1,A2…An为部分分式的n个待定系数，可由公式求出： 因此，系统稳定的充要条件为： 系统传递函数的极点必须全部在[s]平面的左侧。 由于传递函数的极点就是特征方程式的根。因此系统稳定的充分必要条件可转化为： 要求系统特征方程式的所有根之实部均为负数。 6-3 劳斯—胡尔维茨判据（代数稳定判据） 线性定常系统稳定的条件是特征方程的根具有负实部。因此，要判别其稳定性，就要求解特征方程的根。当阶数高于4时，解根将会遇到较大困难。 为避免直接解根，只好讨论根的分布，看其是否全部具有负实部，来判断系统的稳定性，就产生了一系列稳定判据。1884年，E.J.Routh提出的判据，成为劳斯判据。1895年，A.Hurwitz提出了另一方法，赫尔维茨判据。 （代数方法） 一、劳斯判据 设控制系统的特征方程为： 步骤：1、 检查系数： ①特征方程不缺项; ②所有系数ai均为正值。 2、 根据特征方程式，列写劳斯阵列： ? 二、特殊情况 特殊情况1：如果在劳斯判据阵列中有一行的第一个元素为零，而后各元素不为零。在计算下一行时，数值趋于无穷大，无法计算。 方法： 将零用一个很小的正数ε来代替，然后继续计算各行，再令ε趋于零求极限，再来判别第一列系数的符号。 特殊情况2：有一行元素全为零 （说明虚轴上有共轭虚根，系统处于临界稳定），系统是临界稳定或不稳定 方法： 利用该行的上一行的各元素构成辅助多项式，并利用此多项式的导数的系数组成劳斯表的这一行，继续进行运算； 利用辅助多项式构成辅助方程，解出数值相同，符号相异的特征根。 三、赫尔维茨（Hurwitz）判据 系统特征方程： D(s)= ansn + an-1sn-1 +…+ a1s + a0=0 各系数组成的行列式如下所示： 系统稳定的充分必要条件是： ①不缺项且各项系数全为正； ??? ② 主行列式Δn及其对角线上各子行列式Δ1，Δ2…Δn-1均具有正值。即： 6-3、奈奎斯特稳定判据（几何判据） 一、预备知识： 闭环传函、开环传函的关系： 设系统如图所示： 其闭环传函： 开环传函： 由于 与 一般为分式，即： 由此可看出： ①1+ 二、奈奎斯特稳定判据 若开环奈氏曲线轨迹始于或终止于实轴的（-∝，-1）， 则包围次数为± 。 如果奈氏图G(jω)H(jω)刚好通过（-1，j0）点，则表明闭环系统有极点位于虚轴上，系统处于临界状态，归入不稳定情况。 奈奎斯特判据步骤： 1）画开环奈氏图（0→+∝）； 2）根据开环传函确定右极点数P，及奈氏曲 线是否包围（-1，j0）点及次数N ； 3） 是否等于N(如果G(jω)H(jω)曲线刚好通过（-1，j0）点，表明闭环系统有极点位于虚轴上，系统处于临界稳定状态，归入不稳定情况。) 三、奈氏判据应用举例 1、开环传函中没