应用数学基础--随机过程-3.ppt

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应用数学基础--随机过程-3

平稳随机过程 第六章 平稳随机过程 6.1 平稳过程的概念与例 相关理论与平稳过程 在第二章的2.4节中曾经讨论过严平稳过程和宽平稳过 程的概念.其实,在自然科学以及工程技术中,会经常遇到 这类过程. 如纺织过程中棉纱横截面积的变化,导弹在飞行中受到 湍流影响产生的随机波动,军舰在海浪中的颠簸及通信中 的干扰噪声等它们都可以用平稳过程描述. 这类过程一方面受随机因素的影响产生随机波动,同时 又有一定的惯性,使在不同时刻的波动特性基本保持不变. 其统计特性是:当过程随时间的变化而产生随机波动时,其 前后状态是相互联系的,且这种联系不随时间的推延而改 平稳过程的概念与例 变. 严平稳过程的统计特征是由有限维分布函数所决定的, 在应用中比较难以确定;宽平稳过程的判别只涉及一、二 阶矩的确定,在实际中比较容易获得.因此,我们主要研究 宽平稳过程.这种仅研究与过程一、二阶矩有关性质的理 论,称相关理论. 对于正态过程,宽平稳性与严平稳性是等价的, 所以用 相关理论研究它,显得特别方便. 在后文的讨论中,所涉及的主要是宽平稳过程,我们简称 之为平稳过程. 例6.1 设(Xn,n=0,±1,±2,…}是互不相关的实随机变量 序列,且E[Xn]=0,D[Xn]=σ2.试讨论随机序列的平稳性. 平稳过程的概念与例 解: 因为E[Xn]=0及RX(n,n-τ)=E[XnXn-τ]= 其中τ为整数, 故随机序列的均值为常数,相关函数仅 与τ有关,因此它是平稳随机序列. 在物理和工程技术中,称上述随机序列为白噪声.它普 遍存在于各类波动现象中,如电子发射波的波动, 通信设 备中电流或电压的波动等.这是一种较简单的随机干扰的 数学模型. 例6.2 设(Zn,n=0,±1,±2,…)为复随机序列,且E[Zn]=0, E[ZnZm]=σ2δnm, σn2<∞, ωn(n=0,±1,±2,…)为 实数序列.对于每一个t,可以明级数 Zn 在均方意义(见6.3节)下收敛. 令 平稳过程的概念与例 X(t)= Zn . 利用随机变量级数均方收敛性质,可以推得 E[X(t)]=E[ Zn ]=0, E[X(t)X(t-τ)]=E[ Zn Zm ] = = E[|Zn|] . 物理上,cos(ωt),sin(ωt)或 都是描述简谐振动的,Uncos(ωnt),Vnsin(ωnt)或 都可以看作是具有 随机振幅的简谐振动. 上述例题说明,若不同频率的随 平稳过程的概念与例 机振幅互不相关,则这种简谐振动的有限项甚至无限项 的叠加(只要它是均方收敛的)都是平稳过程,而且它们 的相关函数亦有类似的分解,即可以表示为与随机振动 具有相同频率成分的简谐振动之和,其振幅为相应的随 机振幅的方差. 例6.3 设随机过程{N(t),t≥0}是具有参数λ的泊松过程, 随机过程{X(t),t≥0}定义为:若随机点在[0,t]内出现 偶数次(0也看作偶数),则X(t)=1;若出现奇数次,则X(t) =-1,如图所示. (1)讨论随机过程X(t)的平稳性; (2)设随机变量V具有概率分布: P(V=-1}=P{V=1)=1/2. 平稳过程的概念与例 且V与X(t)独立,令Y(t)=VX(t),试讨论随机过程Y(t)的 平稳性. 解: (1) 由于随机点N(t)是具有参数λ的泊松过程,故在 [0,t]内随机点出现k次的概率 Pk(t)=e-λt ,k=0,1,2,… 故 P{X(t)=1}=P0(t)+P2(t)+P4(t)+… =e-λt[1+ + +…] =e-λtch(λt), P{X(t)=-1}=P1(t)+P3(t)+P5(t)+… =e-λt[λt+ + +…] 平稳过程的概念与例 =e-λtsh(λt), 于是 mX(t)=E[X(t)]=1·e-λtch(λt)-1·e-λtsh(λt) =e-λt[ch(λt)-sh(λt)] =e-λt·e-λt =e-2

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