第三节：函数的单调性与最值.doc

第三节 函数的单调性与最值 【知识结构完形】 【复习指导】 1．近几年的高考考查情况 （1）从全国高考试题来看，值域与最值和函数的单调性是高考考查的重点，每年都有考查，或直接考查，或以本节内容为背景结合其他知识点进行考查，题型多以选择题和填空题为主，有时也作为大题的一问或在解题中用到． （2）观察近几年山东高考试题，函数的值域与最值没有单独命题，只是融合在其它知识中来考查；函数的单调性主要与函数的奇偶性、周期性结合起来作为选择填空题考查，大题主要考查利用导数研究函数的单调性． 2．复习指导 本节用1课时，重点掌握的内容是函数值域与最值的一些常见的求法和函数单调性的概念与判断方法． （1）对于最值与值域问题，关键是要熟悉求函数值域的几种基本方法，根据题目特点，灵活运用；函数的值域问题常常转化为求函数的最值问题，要注意利用基本不等式、二次函数及函数的单调性在确定函数最值中的应用，求函数值域，不但要重视对应关系的作用，而且要特别注意定义域的限制作用． （2）函数的单调性是函数的一个重要性质，理解函数单调性的定义要抓住两点：在区间上和取值的任意性，故讨论函数的单调性必须在函数的定义内进行． 【直击训练】 一、基础题过关 1．（文理）函数上的最大值和最小值之和为则实数a可能取值为（ ） A． B．或2 C．2或 D．2 A 解析：由于函数上是单调函数，所以， 即选A 2．（文理）设是定义在R上的函数，且在(-∞，+∞)上是增函数，又， 那么一定是( ) A. 奇函数，且在(-∞，+∞)上是增函数 B. 奇函数，且在(-∞，+∞)上是减函数 C．偶函数，且在(-∞，+∞)上是增函数 D．偶函数，且在(-∞，+∞)上是减函数 A 解析：为奇函数， 为增函数 3．（理）已知定义域为R的函数在上为增函数，且函数为偶函数，则（ ） A． B． C． D． D 解析：y=f(x+8)为偶函数，即关于直线对称． 又f(x)在上为增函数，故在上为减函数， 检验知选D 4．（文理）已知为R上的增函数，则满足的实数的取值范围是______． （－1，0）（0，1） 解析：由已知得解得或01. 5．（理）若函数的值域是，则函数的 解析：.令，则， 备选题： 1．已知函数是偶函数，当时，有，且当，的值域是， 则的值是 （　　） A． B． C． 1 D． C 解析：由是偶函数得 2．函数的递减区间为 （ ） A.． B． C． D． A 解析： 3．函数的值域是_________． 解析： 二、能力培养 题型一：求函数值域与最值问题 例1：（理）求函数的值域． 【解析】法1：定义域 ， 因为所以当时，取最大值， 当时取最小值 法2： 【点评】（1）由函数解析式结构特点，解法1利用平方去根号，转化为二次函数最值问题，注意先求函数的定义域；解法2由，用三角代换去根号，转化为三角最值问题． （2）函数值域也是高考命题的一个热点。解函数值域（或最值）问题，首先要熟练掌握求函数值域的几种常见的基本方法：如配方法、函数单调性法、均值不等式法、判别式法、换元法、三角代换法、分离常数法、导数法、数形结合法等；其次是要根据函数解析式结构特点灵活、合理选择恰当的方法、合理转化最终达到解决问题。在求函数值域，不但要重视对应关系的作用，而且要特别要注意定义域的制约作用． 变式1：函数的最小值为_________． 解析： 变式2：的值域为___________ 题型二：证明函数的单调性 例2：（文理） 已知函数.证明：函数上为增函数； 【证明】（1）设任意的，且，则 ， ∴，， ∴，即，∴函数上为增函数. 【点评】函数是一个指数函数与一个分式函数的和的形式，此类函数的单调性问题，往往要借助定义法.判断函数单调性的方法主要有图象法、定义法、以及导数法，其中，定义法是我们解决问题的最本质的方法，对于函数单调性来说，定义法是证明函数单调性时应用比较广泛的一种方法. 题型三：函数的单调性及应用 例3：（理）已知函数．若在区间上是增函数， 则实数的取值范围是（　　） A． 　 B． 　　 　C． D． 【解析】=．若在区间上是增函数，，t∈[, ]，要求对称轴，矛盾； 当0a1时，若在区间上是增函数，，t∈[,]，要求对称轴， 解得,所以实数的取值范围是,选D. 【答案】D 点评：（1）本题是对数函数与二次函数复合求函数的单调性，运用“同增异减法”，要注意内层函数的值域应是外层函数值域的子集． （2）求函数的单调区间特别要注意函数的