数值方法 第七章　函数逼近.docVIP

PAGE  PAGE 18 第七章函数逼近 §1 正交多项式 （I）正交多项式 定义 设[a, b]是有限或无限区间，如果[a, b]上函数满足如下性质： 在的任一子区间上 那么称为[a, b]上的权函数 记　 集合　为一个线性空间， 即任取　 则　 记　　为所有在　　上　阶导数连续的 函数全体，那么 　也是线性空间。 为上连续函数全体，为线性空间。 设， 为上的权函数 称为的内积 内积具有如下性质： ， 等号成立充分必要条件为 具有内积的线性空间称为内积空间。 定理　（Gram 矩阵的性质）　设V　是一个内积空间 。 矩阵 称为Gram 矩阵，G非奇异的充分必要条件是 u1,u2,…,un 线性无关。 如果（f, g）=0，那么称与在上 带权函数正交。 除内积外，范数是重要概念。 设　， 令 那么　　是　　上范数， 对于 通常用 　为其范数， 对于一个线性空间可构造多种范数， 具有范数的线性空间　称为赋范线性空间。 定义 设函数序列满足 那么称为正交函数序列， 特别地，为首项系数的n次多项式，如果多项式序列 满足 那么称多项式序列为上带权的正交多项式序列, 称为上带权的ｎ次正交多项式。 定义 设为定义在上函数集合， 如果 有；那么称 在上是线性无关的，反之称其为线性相关的。 定理 设为j次多项式， ，那么 是在任区间上是线性无关的。 特别 1， x ，…，是任何区间上线性无关的。 为给定区间，为上权函数， 那么由 可构造出正交多项式： ， ， ， 这样的正交多项式具有如下性质 是最高项系数为1的n次多项式 任何n次多项式都可以表示为 ，…，的线性组合 当， 递推关系 ， 其中 ， ， ， ， 对于一般正交多项式，我们给出重要性质 定理 设是上带权的正交多项式序列， 那么n次正交多项式在开区间（a,b）内恰有n个不同的实零点。 证明 设在内有奇数重零点， 在（）处变号，令 那么，在上不变号，因此 如果，那么利用正交性有 此式矛盾于，从而有 （II）Legendre多项式 区间，权函数的正交多项式称为 Legendre多项式，其表达??为 ， 正交性 奇偶性 递推关系 ， 其中 （III）Chebyshev多项式 区间[-1，1],权函数的正交多项式称为 Chebyshev多项式，其表达式为 , 正交性 奇偶性 , 递推关系 , 在（-1，1）内有n个不同的零点 的首项系数为， （TV）Laguerre多项式 区间[0，+∞]，的正交多项式称为 Laguerre多项式，记为 , 递推关系 ， （V）Hermite多项式 区间（-∞，∞），的正交多项式称为 Hermite多项式，记为 ， ， ，， §2 最佳平方逼近 （I）最佳平方逼近概念及计算 设为[a,b]上的权函数，为定义在[a,b]上的实值函数， 对于定义范数 令 。 若 ，记为。 设为上线性无关的函数， 记，则取， 有。　　　　　　　　（7.1） 定义7.1　设，如果存在使得 (7.2) 则称为在中的最佳平方逼近函数。 由（7.2）可以看出，求等价于求多元函数 的极小值。是关于的二次函数。 利用多元函数求极值的必要条件，有 即 于是有 (7.3) 其中 ， 。 （7.3）是关于的线性方程组，称为法方程。 由于在上线性无关，所以（7.3）的 系数矩阵非奇异，于是（7.3）有唯一解 令 (7.4) 下面将证明满足（7.2），即对任意有 （7.5） 因为为（7.3）的解，所以有 。。 由(7.1)知，对任意有，从而也有 。因此对任意有 这就证明了(7.5)，从而证明了在中最佳平方逼近的存在唯一性。 令，称为最佳平方逼近的误差，容易得到 。 (7.6) 考虑特殊情况， 权函数。对于在中 最佳平方逼近多项式可以表示为 。 相应于法方程（7.3）中系数矩阵为 （7.7） 其中。矩阵（7.7）称为Hilbert矩阵。 由于Hilbert矩阵是病态的，因此直接从法方程来求解 是相当困难的。 实用的方法是采用正交函数作的基。 （II）用正交函数作最佳平方逼近 设 是中线性无关的函数 。利用Gram-Schemidt方法可以得到正交函数组 ，即满足 令 利用（7.4）知，在中的最佳平方逼近函数为 。 由此得 。 （7.8） §3 最小二乘法 由观察得的一组离散数据