数值分析讲义 第一章 绪论.pptVIP

数 值 分 析 主讲 阎家斌 a y x o y=x y=f(x) 第1章 绪 论 §1 数值分析研究的对象和内容 数值分析是研究科学计算中各种数学问题求解的数值计算方法。 用计算机进行科学计算解决实际问题的过程如下： 实际问题 数学模型 数值计算方法 程序设计 计算机计算求出结果 对数学模型建立数值计算方法，并对方法进行理论分析，直到编程上机计算出结果，以及对结果的分析，这就是数值分析研究的对象和任务。 如何评价不同算法的好坏呢？ 一个好的算法应具有如下特点： 一个好的算法应具有如下特点： （1）结构简单，易于计算机实现； （2）理论上要保证方法的收敛性和数值稳定性； （3）计算效率高：计算速度快，节省存储量； （4）经过数值实验检验，证明行之有效。 我们在学习的过程中，要注意掌握数值方法 随着计算机的飞速发展，数值分析方法已深入到计算 的基本原理和思想，要注意方法处理的技巧及其 与计算机的结合，要重视误差分析、收敛性和稳 定性的基本理论。 物理、计算力学、计算化学、计算生物学、计算经济学等 各个领域。本课仅限介绍最常用的数学模型的最基本的数 值分析方法。 §2 误差的来源和分类 误差是描述数值计算之中近似值的精确程度，在数值计算中十分重要，误差按来源可分为模型误差、观测误差、截断误差和舍入误差四种。 1.模型误差 数学模型通常是由实际问题抽象得到的，一般带有误差，这种误差称为模型误差。 2.观测误差 数学模型中包含的一些物理参数通常是通过观测和实验得到的，难免带有误差，这种误差称为观测误差。 3.截断误差 求解数学模型所用的数值方法通常是一种近似方法，这种因方法产生的误差称为截断误差或方法误差。 例如，利用ln（x+1）的Taylor公式： 实际计算时只能截取有限项代数和计算，如取前5项有： 这里产生误差（记作R5） 4.舍入误差 由于计算机只能对有限位数进行运算，在运算中象 在数值分析中，我们总假定数学模型是准确的，因而不考虑模型误差和观测误差，主要研究截断误差和舍入误差对计算结果的影响。 等都要按舍入原则保留有限位，这时产生的误差称为舍入误差或计算误差。 §3 绝对误差、相对误差和有效数字 设x是精确值x*的一个近似值，记 e=x*-x 称e为近似值x的绝对误差，简称误差。 |e|≤? 则称?为近似值x的绝对误差限，简称误差限。 精确值x* 、近似值x和误差限?之间满足： x-?≤x*≤x+? 通常记为 x*=x±? 绝对误差有时并不能很好地反映近似程度的好坏，如 x*=10， ?x=1 ，y*=10000， ?y=5 虽然?y是?x的5倍，但在10000内差5显然比10内差1好。 如果?满足 称er为近似值x的相对误差。 记 由于x*未知，实际使用时总是将x的相对误差取为 ?r =?/|x|称为近似值x的相对误差限。|er|≤?r. 设x=1.24是由精确值x*经过四舍五入得到的近似值,求x的绝对误差限和相对误差限。 解 由已知可得: 1.235≤x*1.245 所以 ?=0.005， ?r= 0.005÷1.24≈0.4% 例1 一般地,凡是由精确值经过四舍五入得到的近似值,其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位。 定义1 设数x是数x*的近似值，如果x的绝对误差限 是它的某一数位的半个单位，并且从x左起第一个非零数 字到该数位共有n位，则称这n个数字为x的有效数字，也 称用x近似x*时具有n位有效数字。 例2 已知下列近似值的绝对误差限都是0.005,问它们 具有几位有效数字? a=12.175,b=-0.10,c=0.1,d=0.0032 解 由于0.005是小数点后第2数位的半个单位,所以 a有4位有效数字1、2、1、7,b有2位有效数字1、0,c有1位有效数字1,d没有有效数字。 数x总可以写成如下形式 x=±0.a1a2…ak×10m x作为x*的近似值,具有n位(n≤k)有效数字当且仅当 由此可见,近似值的有效数字越多,其绝对误差越小。 为了使x*= 例3 问应取几位有效数字？ 解 由于 x=±0.a1a2…ak×10 ，a1=1≠0