数值方法 第８章 数值积分.doc

第八章 数值积分 § 引言 如果的原函数为，那么有 注意到，但　无原函数， 无法求出。对于 ～ 令 , 称为求积节点，为求积系数 §1 Newton—Cotes求积公式 （I）梯形公式 , 称为求的梯形公式 当为其变量 的连续函数。梯形公式余项， 利用积分中值定理 定理 设上可积， 并在[a, b]上不变号，那么存在 对于积分余项是的连续函数， 在上不变号，因此有 =+ （II）Simpson求积公式 作二次Lagrange插值有 其中 此公式称为Simpson求积公式。 变号，因此不能直接应用积分中值定理。令 ； = 令是的 连续函数。而即在[a, b]上不变号，由此可利用 积分中值定理 例 应用梯形公式和Simpson公式计算积分 解 应用梯形公式 应用Simpson公式 直接计算有 例2．用梯形公式和Simpson公式计算积分 的近似值，并讨论误差 解 计算误差0.019657 计算误差1.69536 一般情况估计误差要大于实际计算误差 计算误差为 (III)代数精度 用Simpson公式求的近似值要比梯形公式 求的近似值更精确，代数精度在一定程度上刻画 了这一特性 （*）， 求积系数，求积节点 定义 如果求积公式对所有准确成立， 即，而对于某个次数为的多项式 ，有，则称求积公式（*）具有m 次代数精度。 求积公式（*）对是线性的，即 由此可知， 所有有等价于 存在一个 使，等价于 ，由此引入等价定义。 定义 如果则称求积公式 （*）至少具有m次代数精度，如果还有 ，那么称求积公式（*）具有m次代数 精度。 注意到梯形公式余项 当 时有 求积公式，，所以具有3次 代数精度。 例 确定求积公式 中求积系数A，B及节点，使求积公式的代数精度尽可能 高。 解 令 2h=A+B 三个方程解A，B， ，A=，B= 当 求积公式代数精度为2 （IV）Newton-Cotes求积公式 将区间[a, b]等分为n份， 令 此公式称为Newton-Cotes求积公式， 称为Cotes求积系数 对于给定n，可查表，见P.233表8.1 对于,Newton-Cotes求积公式余项由下述定理给出。 定理 Newton-Cotes求积公式 的余项 分两种情况 若n为偶数，，那么存在 若n为奇数，，那么存在 由定理看出，n奇数，求积公式代数精度为n. n偶数，求积公式代数精度为n+1. 梯形公式n=1，代数精度为1。 Simpson，公式,n=2,代数精度为3。 例， 已有：梯形公式 Simpson Newton-Cotes 实际： 同样 Newton-Cotes 可以看出， （V）Newton-Cotes求积公式的数值稳定性 Newton-Cotes求积公式有 令那么有，由此得 设无误差，但有误差， ,反映在数值积分中 令 当 由此当求积公式数值稳定。 当出现负时， 将出现数值不稳定，因此求积公式 不采用。 §2复合求积公式 用梯形公式 用Simpson求积公式 由此看出，，来计算很不准确， 如果要得到很准确的值，必须采用高阶的 Newton-Cotes求积公式，但当 求积公式数值上不稳定。 由此可以看出，不能靠提高阶的方法来提高计算精度。 基于上述原因，一般把整个积分区间分成若干个子区间 （通常是等分），再在每个子区间上采用低阶求积公式， 这种方法称为复合求积方法。 （I）复合梯形求积公式 将区间[a, b]分为n等分， ，在每个子区间 []上采用梯形公式，那么有 上述公式称为复合梯形公式 令 那么 （1） 讨论（1）的余项 对上式求和有 由于 利用 利用 （收敛性） （II）复合Simpson求积