数值方法 第9章 常微分方程数值解 (下).docVIP

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数值方法 第9章 常微分方程数值解 (下)

§3 单步法的收敛性稳定性 I)收敛性 解出: 数值求解微分方程初值问题解 ,总是要求 是的近似,对于Euler方法,我们推导了整体 截断误差。 满足 当时,有,我们注意到这个极限与 通常不同。 R中点 应该是不动的,当,如果用 那么这个极限过程当是同时的, 而仍固定,这样的极限可以记为 并称其为固定态极限(fixed station limit) 例如: 另一种情况 定义 设初值问题 ,对y满足 Lipschitz条件,如果单步方法 (*) 得到的解 ,对任,均有 则称单步法是收敛的 由收敛性可以推得,对于 整体截断误差 关于收敛性有: 定理 若初值问题的一个单步 方法 的局部截断误差为精确成立, 并且对y有Lipschitz条件: 单步法收敛并有 证明 根据收敛定义 因此必须估计 事实上,,即估计 仿Euler方法中整体截断误差的推导,可以插入项, 引入局部截断误差,局部截断误差有 由定理条件 这样递推下去有 取,并且 并有 具体例子 Euler方法: 由于对满足Lipschitz条件对 也满足Lipschitz条件。应用定, 理知Euler方法收敛。 Runge-Kutta方法,对R=2的改进Euler方法。 假定步长,取为 关于的Lipschitz常数 对于一般Runge-Kutta方法: , 记 对满足Lipschitz条件 (为权应大于0) 于是,存在,当时有 对于 还可以取,使当时有 同样可得: 由此,取有 (收敛性证明中,,因此可取h充分小) (II)相容性 收敛性定理中要求局部截断误差 若按变量在处作Taylor展开,那么有 ,而,也就是说是 有界量 这相当于含h的项必为零,即 满足微分方程,由此有 定义 单步法 满足条件 则称单步法与微分方程初值问题 是相容的。 事实上,相容的方法必有 相容方法至少是一阶的。 ,则单步法是相容的 相容单步法,若对满足 Lipschitz条件方法收敛 即 移次来看: 令 时。 即计算格式趋微分方程。相容本质的意义在于 “差分格式”收敛于“微分方程”。 (III)稳定性(绝对稳定性) 用单步法 在求解时,舍入误差是不可避免的。稳定性就是研究舍入 误差传播问题,当求解过程中舍入误不增长,则称该 数值方法是稳定的。 设是带舍入误差的值,而是单步法精确计算 而得的准确值。 即 在之间 为使舍入误差不增长,则应有 由于与有关,所以稳定性与方程(微分)右端项 有关,为了测试某个方法的稳定性,一般把该数值 方法用于一个“模型方程”(试验方程) ,(为复数, 其解析解,来考察其方法稳定性 选择模型方程原因。 讨论方便,如果对这样简单方程不稳定, 那么复杂方程也不稳定 一般方程可局部化讨论 先考虑Euler方法用 相应误差方程 可以看,误差方程与原来单步法一致,这是模型方程 是常系数线性方程而得到的,因此用于模型方程, 仅考虑的增长与误差增长是一样。 即 对于一般单步法用于模型方程,可以写成 依赖于方法选取,Euler方法; 先考虑一下的性态 令 有误差 有误差有误差。 有误差 有误差 如果很大,产生不稳定,由此给出定义 定义 单步方法 解模型 问题 ,若得到的解 ,满足, 则称单步法是绝对稳定的。 在复平面中,满足的区域,称为单步法的 绝稳定区域,它与实轴的交称为绝对稳定区间。 对于每个方法

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