数值方法 第六章 插值法.doc

第六章 插值法 §1.引言（插值问题） 由实验或测量得到，但只能是离散点上。 …… …… 如果要求在上，, 为此构造一个简单的，便于计算函数作为的近似， 并使 ，, , 另外，，已知其表达式，但计算相当繁， 能否用一个简单的函数来代替，使其计算容易。 …… …… （利用的表达式求得） 构造简单函数，使 仅讨论多项式插值，样条函数插值 设已知区间[ a, b]上实值函数在n+1个相异节点 …… 处 …… 插值法就是用一个便于计算的简单函数去代替f， 使得 并以作为的近似值 被插值函数 ,,……, 插值节点 插值函数 ， 插值条件 用代数多项式作为插值函数的插值法称为多项式插值， 相应的多项式称为插值多项式。 §2. Lagrange 插值 （I）Lagrange插值多项式 1．简单问题 插值节点为，被插值函数，求线性函数使 ， 插值条件 求相当于求通过点（），（）的直线 满足 ， ；即满足插值条件。 是一个一次多项式，用表示。 令， ， 其中 ； 称为基函数，均为一次多项式。 考虑三个节点插值问题 求简单函数满足 , ， 即经过（几何上）点 （）, （）， （） 为二次多项式，用来表示 相应于 ，可以写成 其中 , ，为2次多项式，并应满足 ， ， ， ， ， ， 由此可以得出 下面求， 有两个零点 A为待定常数 利用 A= 同理 ， ， 插值条件 再考虑一个特殊插值问题 对于固定，， ， ， 求 使得 , 有n个零点 ，，……，……，， 因此 其中A为待定系数。 利用条件，有 为n次多项式，满足，， ， 用来表示 2．n次Lagrange插值多项式 …… 求，（为次数的多项式全体）使得 ， 利用前面导出， 令 ， 为n次Lagrange插值多项式； 插值基函数 定理 在n+1个相异节点上给定函数值 ， 那么存在唯一多项式使得 ， . 定理证明前，先说明一个事实 实根个数 实根个数 实根个数 如果有两个多项式，满足 ， 那么有 由 不可能有n+1个实根可以得出。 定理证明 存在性由的构造已证明。再证唯一性 假定还存在 使得， 例1．，用节点，， 构造的2次Lagrange插值多项式 解 ： ： ， （II）插值余项 Rolle 定理 设在[a,b]上连续，在（a,b）内可微， 并，那么存在使=0 中值定理 设在[a,b]上连续，在（a,b）内可微， 那么存在，使得 利用Rolle定理来证明中值定理，为此引入辅助函数 ， 对应用Rolle定理，存在，使，即 对于 ……　 …… n次Lagrange插值多项式， 由插值条件 ， 当， 情况怎样？ 对任 为插值多项式余项或称插值余项 定理 设， ， ……，为[a,b]上相异节点， ，为满足 ， 的n次Lagrange插值多项式， 那么对任，存在使得 其中 证明 当时， i=0 , 1, ……，n 以下假定，i=0 , 1, ……，n 令 这样当的形式确定后，就完全确定了。 设，给出后把其固定， i=0 , 1, ……，n，引入变量t的辅助函数 i=0 , 1, ……，n 在[a.b]上有n+2个零点， 由，所以； 应用Rolle定理，存在，使 ， （n+1个零点） 再应用Rolle定理，存在，使 ， （n个零点） …… ， （2个零点） （1个零点） 由于 所以有 由于的零点与的零点有关， 因而有。 推论 若， 那么 例 线性插值的误差估计 ， 要求 令 当时，达到极小，此时为负值 例： 设 为以为节点的二次Lagrang