材料力学 第十一章：压杆稳定.ppt

解：由于该柱在两个形心主惯性平面内的支承条件不相同，因此，首先必须判断，如果木柱失稳，朝哪个方向弯？从临界应力总图，我们知道，? 越大，越容易失稳。 ∵ 两端固定 ∴ ?y = 0.5 ? 计算 ?y ?z 在屏幕平面绕 y 轴失稳时 在垂直于屏幕平面内绕 z 轴失稳时 ∵ 两端铰支 ∴ ?z = 1 ∵ ?z ?y ∴ 如果木柱失稳，将在垂直于屏幕平面内绕 z 轴失稳。 ?z ?p ∴ 应采用欧拉公式计算 * 材料力 学 压杆稳定 一、压杆稳定的概念 压杆失稳试验图 P1PCr P2=PCr (1) 在杆端加P1小于某个临界值Pcr,钢条能保持直线位置平衡状态。加干扰：用手指横向推动杆端，这时钢条弯了，但手指一离开，钢条就来回摆动，最后回到原来的直线位置保持平衡。我们说，杆件在P1的作用下处于稳定的平衡状态，此时的平衡具有抗干扰性。 P1PCr (2) 当P2等于某个临界值Pcr时，只要一加干扰，杆件将弯曲，干扰去掉后，杆件保持在微弯状态下的平衡，不再回到原来的直线平衡形式，我们说杆原来的直线平衡状态是不稳定的。 P2=PCr 由稳定的平衡状态过渡到不稳定的平衡状态称为失稳。 压杆失稳 ––– 直线平衡状态改变为微弯平衡状态。 P Pcr 压杆处于稳定平衡 P = Pcr 压杆失稳 Pcr ––– 临界压力 临界力 工程实际中的压杆不允许失稳。 对于稳定问题，关键是求出临界压力Pcr，这样，只要工作压力小于临界压力，就不会发生失稳问题。 二、两端简支细长杆的临界压力 如前所述，临界压力Pcr是这样一个值： 当P Pcr ，杆能保持直线平衡状态 ； 当P = Pcr ，杆处于微弯平衡状态 ； Pcr是杆件维持微弯平衡状态的最小压力。 求临界压力的思路： 假设杆处于微弯的平衡状态，求此时最小的轴向压力。 假定：杆件已发生微小弯曲变形(如图示)， L y P P x P 代入挠曲线近似微分方程， EIv? = ? M = ?Pv ? EIv? + Pv = 0 ––– 二阶常系数齐次线性微分方程 L y P P x P v P P x M x y 由平衡条件，易得： M(x) = Pv(x) v? + k2v = 0 通解： v = c1sinkx + c2coskx 边界条件： x = l v( l ) = 0 v(0) = c1sin(k? 0) + c2cos(k? 0) = c2 = 0 ? v = c1sinkx v(l) = c1sinkl = 0 x = 0 v( 0 ) = 0 ∵ c1 ? 0 否则 v ? 0 与假设矛盾 ∴ sinkl = 0 有： kl = n? n = 0，1，2，…… 临界压力为维持微弯平衡状态的最小轴向压力 ––– 欧拉公式 杆件失稳 ––– 由直线变成曲线 ––– (0?x?l) ––– 半个正弦波 三、不同杆端约束下细长杆的临界压力欧拉公式 ? 压杆的长度系数。 例 求一端固定，一端自由细长杆的临界压力。 由平衡条件 M(x) = ?P(? ? v) 代入挠曲线近似微分方程 EIv? = ? M(x)=P(? ? v) v y L P x x M P ∴ EIv? + Pv = P? v? + k2v = k2? 通解为 v = c1sinkx + c2coskx + ? 边界条件: x = 0 v (0) = 0 x = l v (l ) = ? v(0) = c1sin(k ? 0) + c2cos(k ? 0) + ? = 0 x = 0 v (0) = 0 ∴ c2 + ? = 0 c2 = ?? v (0) = kc1cos(k ? 0) ? kc2sin(k ? 0) = 0 ∴ kc1 = 0 v (x) = kc1coskx ? kc2sinkx ∴ c1 = 0 v(x) = ?(1? coskx) v(l) = ? (1? coskl) = ? n = 0，1，2，…… n = 0，1，2，…… ( 0 ? x ? l ) ∵v(l)=0 A l B A A l l 半个正弦波 个正弦波 MA=MB=0 MA=MA? =0 相当长为2l的两端简支杆 对比： 图形比拟：失稳时挠曲线上拐点处的弯矩为0，故可设想此处有一铰，而将压杆在挠曲线上两个拐点间的一段看成为两端铰支的杆