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概率论与数理统计教程(答案及课件)chapter1
例1.2 一个盒子中有十个完全相同的球,分别标以号码1,2,…,10,从中任取一球,令 i={取得球的标号为i} 则 Ω={1,2,…,10} 例1.3 测量某地水温,令 t={测得的水温为 } 则 Ω=[0,100] 在试验中,如果出现A中所包含的某一个基本事件ω, 则 称作A发生,并记做ω∈A。 每次试验一定发生的事件称为必然事件。 如点数大于0。 8.完备事件组 若A1,A2,…,An为两两互不相容的事件, AiAj= ? (i≠j) 且A1+A2+…+An=Ω 称A1,A2,…,An构成一个完备事件组 三、事件的运算 例3 一名射手连续向某个目标射击三次,事件Ai表示该射手第i次射击时击中目标(i=1,2,3)试用文字叙述下列事件 ①A1+A2 ②ā2 ③A1+A2+A3 ④ A1A2A3 ⑤A3ā2 A3-A2 ⑥ ā1ā2 ⑦ā2+ā3 ⑧A1A2+A1A3+A2A3 ①前两次中至少有一次击中目标 第二次射击未击中目标 ③三次射击中至少有一次击中目标 三次射击都击中了目标 ⑤第三次击中而第二次未击中 前两次均未击中目标 ⑦后两次射击中至少有一次未击中目标 三次射击中至少有两次击中目标 三次射击中至多有一次未击中目标 例1.3.1两封信随机的向标号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的4个邮筒投寄,求第2个邮筒恰好被投入1封信的概率 解:设A=“第二个邮筒只投入1封信” B=“前两个邮筒各有一封信” 则根据乘法原理 §1.4 几何概率及概率的性质 §1.4.1 几何概率先引入几何概率(参加课本p22) 例1.4.1 (会面问题)甲乙两人约定于早上8点至9点在校门口见面。要求先到者等20分钟后离去。假定两人到校门的时间相互独立,而且在8至9点间是等可能的。问两人能见面的概率是多少? §1.5 条件概率、全概率公式和贝叶斯公式 概率加法公式 例1.3.2 袋中装有5个白球,3个黑球。从中任取两个球,计算取出的两个球都是白球的概率。 解:组成试验的基本事件总数 事件A表示取到两个白球,基本事件数 故 例1.3.3 设有n个人,每个人都等可能地被分配到N个房间中的 任意一间去住(n m),求下列事件的概率: (1) 指定的n个房间各住一个人; (2)恰好有n个房间,其中各住一个人. 解 因为每一个人有N个房间可供选择,所以n个人住的方式共有 种,它们是等可能的。在第一个问题中,指定的n个房间各有一个人住,其可能总数为n个人的全排列n!,于是 在第二个问题里,n个房间可以在N个房间中任意选取,其总数为 ,对选定的n个房间,按前述的讨论可支有n!种分配方法,所以 恰有n个房间其中各住一人的概率为 例1.3.4 某班有n个人(n 365),问至少有两个人的生日 在同一天的概率为多大? 解 假定一年按365天计算,把365天当作365个房间,那么问题就可以归结为例1.3.3, 这时“n个人的生日全不相同”就相当于例1.3.3中的(2):“恰有n个房间,其中各住一个人”,令 A={n个人中至少有两个人的生日相同} 则 ={n个人的生日全不相同} 由例1.3.3的(2)知 而 于是 N=365 对于n的不同取值情况可参见P19 例1.3.5 甲、乙两人掷均匀硬币,其中甲掷n+1次,乙掷n 次。求“甲掷出正面的次数大于乙掷出正面的次数”这一事件的 概率。 解 令 于是所求事件的概率为 ,另一方面显然有 因为硬币时均匀的,由对称性知 由此即得 例1.3.6 福利彩票35选7中特等奖的概率。 解:不论是号码是自选还是机选, 基本事件总数为 A表示中特等奖,则A只含一个基本事件, 若B表示中一等奖(对6个号码) B的基本事件数为 例1.3.7 从0到9十个数字种任取一个,取后放回,再取。先后共取七个数字。求下述事
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