概率论与数理统计教程（答案及课件）chapter3.ppt

(二)随机变量的分布函数 定义2.2 若ξ是一个随机变量，对任何实数x，令 F(x)=P(ξ x) 称为F(x)是随机变量ξ的分布函数或分布。 对任意实数ab,有 P(a ξ ≤b)=P(ξ ≤b)-P(ξ ≤a) 例, 设 服从自由度为n的t分布, 求 的分布. 解 假设 §3.5 随机变量的数字特征和chebshev不等式 课本例3.22.3.23自己看. 定理1 若ξ~φ(x), -?x?, 则η=f(ξ)的期望 推论 若(ξ,η) ~φ (x, y), -?x?, -?y?, 则ζ=f(ξ,η)的期望 连续型随机变量的期望的性质和离散类似.p150 定义2 设 是一随机变量,数学期望存在,如果 存在, 则称 为随机变量 的 方差 ,记为 . 方差的平方根 又称为标准差或根方差. 例3 解 因此,均匀分布 的性质 : 事实上 , 标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准 正态分布. 定理1 证 Z 的分布函数为 则有 根据定理1,只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题. 于是 书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表. 正态分布表 当 x 0 时 , 表中给的是 x 0 时, Φ(x)的值. 若 若 X～N(0,1), ~N(0,1) 则 =0.97725 =0.6826 由标准正态分布的查表计算可以求得， 这说明，X的取值几乎全部集中在[-3,3]区间 内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%. 当X～N(0,1)时， P(|X| 1)=2 (1)-1=0.6826 P(|X| 2)=2 (2)-1=0.9544 P(|X| 3)=2 (3)-1=0.9974 3 准则 §3.3 多元随机变量及其分布 以下只研究二元随机变量。 如果 表示笛卡尔平面上的点的坐标,那么 就表示点 落在某个区间的概率. 并且有 如同一维分布函数,可以证明 也满足以下性质: 对 都是单调不减的; 对 都是右连续的; 对任意的 ,有 并且还有 有性质： 对任意平面区域D, 解：P(ξ+ η1) 同样地 P( η ξ) 2 1 1 0 x y 2 1 1 0 x y 分别称为二元随机变量(ξ，η)中关于ξ及关于η的 边缘分布函数。 求导可得相应的概率密度： 是关于ξ的边缘概率密度。 是关于η的边缘概率密度。 解：当axb时 在其它点 ＝0 随机变量的相互独立性 判断独立的充要条件： 例3 判断ξ1与ξ2是否相互独立？ 解：已经得到 ξ1 ξ2 0 1 2 故ξ1与ξ2不是相互独立的。 例4 例2中的随机变量ξ与η是否相互独立？ 可见，对任何x,y有 故ξ与η相互独立。 ＝P(4ξ-1≤x) 两边求导 §3.4 随机变量函数的分布 解：当x0时 =0 两边对x求导。 特别的,若 ,则 不难看出,上式表示的概率密度是下述概率密度当 时的特例. (其中 表示伽马函数).以(A)式为密度函数的分布 含有参数n, 常常称 例2告诉我们,标准正态分布的平方服从自由度为1的 卡方分布. 关于伽马函数的复习见下一页 它有性质： 特别地 ＝n！ (一) 和的分布 设 是一个二维连续型随机变量,密度函数为 ,现在求 的分布,按定义为 如果 是独立的,则 由此得 的概率密度为 由对称性还可得 上两式给出的运算称为卷积,通常记作 例3见课本p133例3.13. 下面讨论伽马分布. 由课本p135例3.14知伽马分布具有可加性. 故卡方分布也具有可加性. (二) 商的分布 设 是一个二维连续型随机变量,密度函数为 ,现在求 的分布,按定义为 所以 的密度函数为 例3.25见课本P136. 引理3.1 若r.v 相互独立, 又 是两个 连续或者逐段连续的函数,则 相互独立. * 第三章 连续型随机变量 §3.1 随机变量及其分布函数 例3 在区间[4，10]上任意抛掷一个质点，用ξ表示这个质点与原点的距离，则ξ是一个随机变量。若这个质点落在[4,10]上任一子区内的