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在求连续型 r.v 的边缘密度时，往往要求联合密度在某区域上的积分. 当联合密度函数是分片表示的时候，在计算积分时应特别注意积分限 . 由联合分布可以确定边缘分布; 但由边缘分布一般不能确定联合分布. 三、随机变量的独立性 用分布函数表示,即 设 X,Y是两个随机变量，若对任意的x,y,有 则称X,Y相互独立 . 设 X,Y是两个随机变量，若对任意的x,y,有 则称X,Y相互独立 . 若 (X,Y)是离散型r.v ，则上述独立性的定义等价于： 则称X和Y相互独立. 对(X,Y)的所有可能取值(xi, yj),有 * * 到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布. 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述. 在打靶时,命中点的位置是由一对r.v(两个坐标)来确定的. 飞机的重心在空中的位置是由三个r.v (三个坐标）来确定的等等. §3 二维随机变量及其联合分布 一般地，我们称n个随机变量的整体X=(X1, X2, …，Xn)为n维随机变量或随机向量. 以下重点讨论二维随机变量. 请注意与一维情形的对照 . 定义 3.1设(X, Y)是二维随机变量，(x, y)?R2, 则称 F(x,y)=P{X?x, Y?y} 为(X, Y)的联合分布函数。 几何意义：分布函数F( )表示随机点(X,Y)落在区域 中的概率。如图阴影部分： 一、二维随机变量及其联合分布 分布函数F(x, y)具有如下性质： 且 (1)归一性 对任意(x, y) ?R2 , 0? F(x, y) ? 1, 二维随机变量（X,Y） X和Y的联合分布函数 X的分布函数 一维随机变量X (2)单调不减 对任意y ?R, 当x1x2时， F(x1, y) ? F(x2 , y)； 对任意x ?R, 当y1y2时， F(x, y1) ? F(x , y2). (3)右连续 对任意x?R, y?R, (4) 对于(x1, y1), (x2, y2)?R2, (x1 x2， y1y2 ), 则P{x1X? x2， y1Y?y2 }＝F(x2, y2)－F(x1, y2) － F (x2, y1)＋F (x1, y1). (x2, y2) (x2, y1) (x1, y1) (x1, y2) 1.二维离散型随机变量及其联合分布 定义3.2 若二维随机变量(X, Y)只能取至多可列个值 (xi, yj), (i, j＝1, 2, … )，则称(X, Y) 为二维离散型随机变量。 若二维离散型随机变量(X, Y) 取 (xi, yj)的概率为pij,则称P{X＝xi , Y＝ yj}＝ pij ，(i, j＝1, 2, … )，为二维离散型随机变量(X, Y)的联合分布律.可记为  (X, Y)～ P{X＝xi , Y＝ yj}＝ pij ，(i, j＝1, 2, … )， 二维随机变量（X,Y） 离散型 i, j =1,2, … X和Y 的联合概率函数 k=1,2, … 离散型 一维随机变量X k=1,2, … X的概率函数 X Y y1 y2 … yj … p11 p12 ... P1j ... p21 p22 ... P2j ... pi1 pi2 ... Pij ... ... ... ... ... ... ... ... ... 联合分布律的性质 (1) pij ?0 , i, j＝1, 2, … ； (2) x1 x2 xi 分布律也可列表表示如下: 例1 一个口袋里装有三个球，分别标有号码1，1，2 从中先后取两个球，第一次取出球的标号