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* * 1.定义：设 X 是一随机变量，若对任意的实数x,存在 非负函数 f(x) 使得 其中 F(x) 是X 的分布函数． 则称 X 是连续型随机变量，称f(x)是X的密度函数，也称为分布密度函数或概率密度． 一、连续型随机变量 §2 连续型随机变量及其分布 2. 密度函数的性质 1 o 2 o 这两条性质是判定一个 函数 f(x)是否为某r.vX的 密度函数的充要条件. f (x) x o 面积为1 3、 在 f(x) 的连续点处， 若x是 f(x)的连续点，则： =f(x) 故 X的密度函数 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是X落在区间 上的概率与区间长度 之比的极限. 要注意的是，密度函数 f (x)在某点处a的高度，并不反映X取值的概率. 但是，这个高度越大，则X取a附近的值的概率就越大. 也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度. f (x) x o 若不计高阶无穷小，有： 它表示随机变量 X 取值于 的概率近似等于 . 在连续型r.v理论中所起的作用与 在离散型r.v理论中所起的 作用相类似. 4 连续型r.v取任一指定值的概率为0. 即： a为任一指定值 这是因为 由此得， 1) 对连续型 r.v X,有 2) 由P(X=a)=0 可推知 而 {X=a} 并非不可能事件 并非必然事件 可见， 由P(A)=0, 不能推出 由P(B)=1, 不能推出 B=S 由于连续型 r.v唯一被它的密度函数所确 定. 所以，若已知密度函数，该连续型 r.v 的概率规律就得到了全面描述. f (x) x o x f (x) x F ( x ) 5 分布函数 F(x)与密度函数 f(x)的几何意义 b x f (x) a 　例 设随机变量 具有密度函数 试确定常数A， 以及 的分布函数. 　解:由 知A=3，即 而 的分布函数为 1 均匀分布 [a ,b]上的均匀分布 记作 二、 常见的连续型随机变量 若 X 的密度函数为 ，则称 X 服从区间 其中 X 的分布函数为 例2 　设随机变量X服从[1,6]上的均匀分布， 　　　 　　求一元两次方程t2+Xt+1=0有实根的概率. 解: 故所求概率为: 而X的密度函数为 : 因此所求概率： 2. 指数分布 若X 的密度函数为 则称X 服从参数为?的指数分布 记作 X 的分布函数为 ?? 0 为常数 对于任意的 0 a b, 应用场合: 用指数分布描述的实例有： 随机服务系统中的服务时间 电话问题中的通话时间 无线电元件的寿命 动物的寿命 指数分布常作为各种 “寿命”分布的近似 令：B={ 等待时间为10-20分钟 } 3 正态分布 若X 的密度函数为 则称 X 服从参数为 ? , ? 的正态分布 记作 X ～N ( ? , ? 2 ) 为常数， f (x) 的性质： (1) 图形关于直线 x = ? 对称： f (? + x) = f (? - x) (2) 在 x = ? 时, f (x) 取得最大值: (3) 在 x = ?±? 时, 曲线 y = f (x) 在对应的点处有拐点 (4) 曲线 y = f (x) 以x轴为渐近线 (5) 曲线 y = f (x) 的图形呈单峰状. 正态分布的密度曲线是一条关于 对称的钟形曲线。特点是“两头小，中间大，左右对称”。 决定了图形的中心位置， 决定了图形中峰的陡峭程度。 应用场合: 若随机变量 X 受到众多相互独立的随机因素的 影响，而每一个别因素的影响都是微小的，且这些影响可以叠加, 则 X 服从正态分布. 可用正态变量描述的实例非常之多： 各种测量的误差； 人的生理特征； 工厂产品的尺寸； 农作物的收获量； 海洋波浪的高度； 金属线的抗拉强度； 热噪声电流强度； 学生们的考试成绩； 一种重要的正态分布：N(0,1) — 标准正态分布 分布函数表示为 其密度函数表示为