一条直线都垂直结论.PPT

【例2】如图，在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥ 平面BCD，∠ADB＝60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且 (1)判断EF与平面ABC的位置关系并给予 证明； (2)是否存在λ，使得平面BEF⊥平面ACD， 如果存在，求出λ的值，如果不存在，说明理由. 【解题指南】(1)结合图形猜测EF与平面ABC垂直.由 知EF∥CD，由∠BCD＝90°及AB⊥平面BCD可证得结论成立. (2)由EF∥CD可知问题相当于过点B作一个平面与平面ACD垂直，而这样的平面一定存在，故只需计算出λ即可. 【规范解答】(1)EF⊥平面ABC. 证明：∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD， 在△BCD中，∠BCD＝90°，∴BC⊥CD， 又AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC， 在△ACD中 ∴EF∥CD， ∴EF⊥平面ABC. (2)∵CD⊥平面ABC，BE?平面ABC， ∴BE⊥CD， 故要使平面BEF⊥平面ACD，只需证BE⊥AC. 在Rt△ABD中，∠ADB＝60°， ∴AB＝BDtan60°＝ 则 当BE⊥AC时， 则 BE⊥AC， 又BE⊥CD，AC∩CD＝C， ∴BE⊥平面ACD， ∵BE?平面BEF， ∴平面BEF⊥平面ACD. 所以存在 时，平面BEF⊥平面ACD. 【反思·感悟】证明面面垂直时一般先证线面垂直，确定这条直线时可从图中现有的直线中去寻找，若图中不存在这样的直线，则应通过添加辅助线来构造. 【变式训练】如图，四棱锥P-ABCD中，底 面ABCD是∠DAB=60°的菱形，侧面PAD为 正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD. (1)求证：AD⊥PB; (2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论. 【解析】(1)如图，取AD的中点G，连接PG，BG，BD. ∵△PAD为等边三角形， ∴PG⊥AD, 又∵平面PAD⊥平面ABCD， ∴PG⊥平面ABCD. 在△ABD中，∠DAB=60°,AD=AB, ∴△ABD为等边三角形，∴BG⊥AD,且BG∩PG=G, ∴AD⊥平面PBG,∴AD⊥PB. (2)连接CG,DE,且CG与DE相交于H点， 在△PGC中作HF∥PG， 交PC于F点，连接DF， ∴FH⊥平面ABCD, ∴平面DEF⊥平面ABCD. ∵菱形ABCD中，G、E分别为AD、BC的中点，即得知H是CG的中点，∴F是PC的中点， ∴在PC上存在一点F，即为PC的中点，使得平面DEF⊥平面ABCD. 垂直关系的综合问题 【方法点睛】垂直关系综合题的类型及解法 (1)对于三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化. (2)对于垂直与平行结合的问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用. (3)对于垂直与体积结合的问题，在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积. 【例3】(2012·唐山模拟)如图，已知三棱 锥A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中 点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形. (1)求证：DM∥平面APC； (2)求证：平面ABC⊥平面APC； (3)若BC＝4，AB＝20，求三棱锥D－BCM的体积. 【解题指南】(1)要证DM∥平面APC,只需证明DM∥AP；(2)证BC⊥平面APC；(3)通过VD－BCM＝VM－BCD求体积. 【规范解答】(1)∵M为AB中点，D为PB中点， ∴DM∥AP， 又DM平面APC，AP?平面APC. ∴DM∥平面APC. (2)∵△PMB为正三角形，且D为PB中点， ∴MD⊥PB， 又由(1)知MD∥AP，∴AP⊥PB. 又AP⊥PC，PB∩PC=P， ∴AP⊥平面PBC，∴AP⊥BC， 又∵AC⊥BC，AP∩AC=A，∴BC⊥平面APC. 又BC?平面ABC.∴平面ABC⊥平面APC. (3)∵AB＝20，∴MP＝10，PB＝10. 又BC＝4， ∴ 又 第五节 直线、平面垂直的判定及其性质 三年20考 高考指数:★★★★ 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定定理； 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形垂直关系的简单命题. 1.垂直关系的判断多出现在选择题或填空题中，主要考查对与垂直有关的概念、公理、定理、性质、结论的理解及运用，往往与命题及平行关系综合在一起考查，难度较小； 2.线面垂直、面面垂直的证明及运算常以解答题的形式出现，且常与平行关系综合命题，难度中等； 3.通过求线面角，或与几何体的体积结合在一起命题，进而考查学生的空间想象能力和运算能力，常以解答题的形式出现.