电磁波理论 第0章 场量复习1.ppt

矢量分析与场论初步 欧氏空间 笛卡儿直角坐标系 矢量（vector） 张量（Tensor） 并矢（Dyadic） 哑指标（dummy index） 自由指标(free index) 坐标系 由坐标原点与三条不共面的标架直线构成的坐标系称为直线坐标系。 在直线坐标系中，如果各标架上单位尺度取得不同，称为仿射坐标系； 如果取得相同，则称为笛卡儿坐标系。 在笛卡儿坐标系中，如果标架直线相互垂直，称为笛卡儿直角坐标系 反之称为笛卡儿斜角坐标系 坐标系介绍、Lame系数 以xi , i =1, 2, 3(替代x，y，z)表示笛卡儿直角坐标系的坐标， e1, e2, e3（替代i, j, k）分别表示三个坐标的单位矢量（基矢）。 此处i称为自由指标，凡用自由指标，i依次取1, 2, 3。 一、求和约定（Summation Convention） 如果在同一项中，某个指标重复出现两次，就表示要对该指标从1到3求和。例如在AiBi中，指标i重复出现两次，其含意是： i称为约定求和指标。约定求和指标在展开式中不再出现，因此也称为“哑指标”。显然哑指标的字母可以更换，因为AiBi与AjBj的含意是相同的 哈密顿矢量微分算子 Hilmiton 哈密顿矢量微分算子（Nable 算子） 例1、 例2、写出AijBij的展开式。 在上式中i和j都是哑指标，展开式如下： 例3、写出AijBj的展开式。 在上式中j是哑指标，i不参加约定求和，i称为自由指标，上式的展开式如下： 全部写出来是（矢量，共三个分量） 二、克罗尼克尔（Kronecher）符号 克罗尼克尔符号δij定义为 由定义可知 δij＝δji 例1、在笛卡儿直角坐标系中 ei ej=δij 例2、 单位矩阵可表示成 采用约定求和法和克罗尼克尔符号将给我们以后的书写和计算带来很大的方便 几个常用的性质和运算 三、置换符号（Levi-Civita符号）∈ijk ∈ijk的定义 其中∈123＝∈231＝∈312＝1； ∈132＝∈321＝∈213＝－1； 其余21 个全部为零。 采用置换符号∈ijk可使书写和运算简化 例1、用置换符号表示三阶行列式的值 对照式（1－1－7），∈ijk恰好反映了行列式的性质。 例2、用置换符号表示A×B 借用例1 的结果 ∈ijk ,注意下标的顺序，i给基矢，j、k依次给后边的符号。 同样矢量u的旋度curl u采用置换符号可以写成 δij和∈ijk的关系 1）、根据δij和∈ijk的定义，读者很容易验证下式的正确性 2） 根据行列式的乘法，新行列式的第一行的第一项应该是 同法可以求新行列式的各项，所以 a）、若i＝p，则有 证明： 所以， 若i=p，j=q，则有 c）、若i=p，j=q，k=r,则有 例1、求 例2、证明 证：因为 所以 梯度、散度、旋度在广义坐标系中的表达式 旋度在广义坐标系中的表达式 拉普拉斯算符 例题1 例题 2 例题 3 例题 4 广义高斯定理 习 题 一 * 东南大学无线电工程系 电磁场与电磁波 电 磁 场 与 电 磁 波 场 论 复 习 0.1 标量场和矢量场 场是一个标量或一个矢量的位置函数,即场中任一个点都有一个确定的标量值或矢量. 例如,在直角坐标下, 标量场 如温度场,电位场,高度场等; 矢量场 如流速场,电场,涡流场等. 形象描绘场分布的工具--场线 矢量场--矢量线 标量场--等值线(面). 其方程为 其方程为 三维场 在直角坐标下: 二维场 图0.1.2 矢量线 图0.1.1 等值线 在某一高度上沿什么方向高度变化最快？ 0.2 标量场的梯度 一. 梯度 设 当 ,即 与 方向一致时, 为最大. 设一个标量函数?(x,y,z),若函数 ? 在点P可微,则 ? 在点P沿任意方向 的方向导数为: 梯度(gradient) 哈密顿算子 式中 则有: 式中 ， ， ，分别是与x,y,z轴的夹角 例1 三维高度场的梯度 例2 电位场的梯度 高度场的梯度 与过该点的等高线垂直； 数值等于该点位移的最大变化率； 指向地势升高的方向。 电位场的梯度 与过该点的等位线垂直； 指向电位增加的方向。 数值等于该点的最大方向导数； 二. 梯度的物理意义 标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数; 梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向. 梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即该点最大方向导数; 图0.2.1 三维高度场的梯度