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南开大学2005年硕士研究生入学考试试题 考试科目：高等代数 专业：数学院（所）各专业 一．（20分）计算下列行列式 二．（15分）设齐次线性方程组 的一般解以为自变量。 ⑴求满足的条件； ⑵求齐次线性方程组的基础解系。 三．（20分） ⑴已知，且，求 ⑵已知，，且矩阵方程有解，求，， 四．（20分）设和均为实数域上元二次型，且存在实数域上阶方阵和使得， 证明：和具有相同的规范形 五．（20分）设为数域.已知上两组向量组 试问是否存在上的线形变换使 六．（20分）设为数域上维线形空间，为上线形变换.已知但。试问是否存在的一组基使在这组基下的矩阵为对角矩阵？ 七．（20分）设为阶正定实对称矩阵，为维欧式空间（标准度量）中的个向量.若已知 ⑴ ； ⑵ ； ⑶ 与正交 证明： 八．（15分）设为数域上维线形空间.证明：必存在中一个无穷的向量序列使得中任何个向量都是的一组基. 南开大学2005年硕士研究生入学考试试题 《高等代数》解答 一．解 从最后一行开始每行减去前一行的倍，得 ■ 二．解 ⑴由自由变量数为，可知，方程组系数矩阵的秩为 即的秩为，又系数矩阵变形为 通过初等变换得到 即 及，也即 ⑵)结合上面的讨论，易知基础解系为及 ■ 三．解 ⑴令由的第三列均为知 不妨令 则有矩阵乘法法则，知 解得 同理， 即 ⑵将看成两个方程组和，其中， 显然有解，即与有相同的秩，也即 经过变形得到的矩阵中 有，得 同理，中有 ，即， 对中有，基础解系 对有基础解系 综上， ■ 四．证 由于乘积的秩不超过各因子的秩，以及得， ,及，从而， 不妨设，， 若不妨设 则由，得， ，即 记，其中 为，为，为 则有 ，从而 对 得，等式右边 得到一个半正定矩阵，而左边为一负定矩阵.产生矛盾，从而故，这样A与B有共同的秩且具有相同的正惯性指数，即A与B合同，合同于同一个形为 的对角矩阵。从而，它们具有相同的规范形，也即 和 具有相同的规范形 ■ 五．解 由题显然有，且线性无关，也线性无关.。故可添加一个向量，使得， 均线形无关。把作为一组基，则存在上的线性变换使 , 则由线性变换定义 此线性变换满足 故存在上的线形变换(使 ■ 六．解 不妨设存在这样的一组基，设为，在这组基下的矩阵为，且 均不为 由定理有 故，此时， 从而有，这与题意矛盾从而不存在V的一组基使在这组基下的矩阵为对角矩阵 ■ 七．证 定义一组基，满足欧式空间的所有条件，且满足内积条件 ，是A中的元素，并设， 由⑵有 从而，两两正交，为一正交向量组并有线形无关， 又，从而β=0 问题得证 ■ 八．证 采用构造法 取n维线形空间的一组基 取另一向量 则显然有从以上n+1向量中选出n个均可作为n维线形空间的一组基. 同样，依次取向量使得 这样得到一个无穷的向量序列.下面证明从中任意选个均线性无关 从而不妨任选，. 令 得 从而， …， （*） 又 可以证明，对角线上的元素均不为零，从而行列式不为零，也即方程组（*）仅有平凡解，即从而它们均线形无关，故问题得证 ■