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德州市近四年中考数学压轴题综观 山东省庆云县渤海中学（253700） 德州市中考数学从2006年到2009年连续四年的压轴题都是在初中数学主干知识的交汇处进行命题。命题起点低，而后在问题的纵向延伸上进行探索，突出对考生的发散思维能力、探究能力、创新能力、综合运用知识能力等方面的考查。从试题的设计和命题上看，不同年度又各有差异，独具特色。 1. 2006年压轴题 如图，平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标分别为，动点分别从同时出发，以每秒1个单位的速度运动．其中，点沿向终点运动，点沿向终点运动，过点作，交于，连结，已知动点运动了秒． （1）点的坐标为（ ， ）（用含的代数式表示）； （2）试求面积的表达式，并求出面积的最大值及相应的值； （3）当为何值时，是一个等腰三角形？简要说明理由． 解：（1）由题意可知，，， 点坐标为． （2）设的面积为，在中，，边上的高为，其中． ． 的最大值为，此时 （3）延长交于，则有． ①若， ． ，． ②若，则， ． ③若，则． ， 在中，． ． 综上所述，，或，或． 评注：本题以直平面直角坐标系为依托，结合函数、方程、图形的面积及勾股定理进行设计，考查的知识多，综合性强，特别突出了对函数、方程、数形结合、分类讨论等数学思想和方法的考查。第（3）问既要注意探究和讨论的全面性，又要注意其合理性。实为一道难得的好题。 2. 2007年压轴题 根据以下10个乘积，回答问题： （1）试将以上各乘积分别写成一个“”（两数平方差）的形式，并将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来； （2）若乘积的两个因数分别用字母表示（为正数），请观察给出与的关系式．（不要求证明） （3）若用，，，表示个乘积，其中，，，为正数．请根据（1）中乘积的大小顺序猜测出一个一般结论．（不要求证明） 解：（1）；； ；； ；． 这10个乘积按照从小到大的顺序依次是： （2）（注：①若，则．②） （3）若， 且，则， （注：若且， 则．） 评注：本题先有10个乘积式入手，让学生观察、猜想、归纳，写出乘法的平方差形式，而后依次增加难度，进一步归纳、概括。本题由浅入深，由简单到复杂，意在考查学生由特殊到一般，由具体到抽象的归纳概括能力，能够从具体的事物中得出一般性结论。在第（2）、（3）问中，根据学生的概括归纳水平不同，所给的分值也不同，从而达到考查不同层次的学生的创新意识和概括思维能力，这为选拔性考试设置了一道好题。 3. 2008年压轴题 在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x． （1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积S； （2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？ （3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？ 解：（1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C． ∴ △AMN ∽ △ABC． ∴ ，即． ∴ AN＝x． ∴ =．（0＜＜4） （2）如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则AO =OD =MN． 在Rt△ABC中，BC ＝=5． 由（1）知 △AMN ∽ △ABC． ∴ ，即． ∴ ， ∴ ． 过M点作MQ⊥BC 于Q，则． 在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角， ∴ △BMQ∽△BCA． ∴ ． ∴ ，． ∴ x＝． ∴当x＝时，⊙O与直线BC相切． （3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点． ∵ MN∥BC，∴ ∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC． ∴ △AMO ∽ △ABP． ∴ ． AM＝MB＝2． 故以下分两种情况讨论： ① 当0＜≤2时，． ∴ 当＝2时， ② 当2＜＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F． ∵ 四边形AMPN是矩形， ∴ PN∥AM，PN＝AM＝x． 又∵ MN∥BC， ∴ 四边形MBFN是平行四边形． ∴ FN＝BM＝4－x． ∴ ． 又△PEF ∽ △ACB． ∴ ． ∴ ． ∴＝。 当2＜＜4时，． ∴ 当时，满足2＜＜4，． 综上所述，当时，值最大，最大值是2． 评注：本题把圆与直角三角形有机的结合在一起 ，通过动点设计几何变量，让学生探求几何变量、函数关系式和自变量的取值，它融函数、方程、相似、几何图形的面积、直角三角形、矩形等知识为一体。在动态图形问题中，关键是抓住其中不