复化积分公式.ppt

上周教学内容回顾 上周教学内容回顾 探讨前的知识准备 探讨前的知识准备 问题的提出 解决思路 复化求积公式定义 复化梯形公式 复化梯形公式误差分析 复化梯形公式误差分析 复化梯形公式误差分析 先验误差估计式 后验误差估公式 后验误差估公式 后验误差估公式 复化梯形积分公式递推公式 复化Simpson公式 复化Cotes公式 复化公式的阶 另一种思路的探讨 另一种思路的探讨 另一种思路的探讨 另一种思路的探讨 另一种思路的探讨 另一种思路的探讨 另一种思路的探讨 * * 讲解人： 廖蠡 专 业 ： 建筑与土木工程（市政方向） 学 号 ： 20113303003 安徽建筑工业学院市政工程系 其中： 为Cotes系数 插值型求积公式（NC公式）： ， （课本形式） （闵老师给出形式） 其中： 由NC公式中最重要的三个公式：梯形公式，Simpson公式，Cotes公式 梯形公式： Simpson公式： Cotes公式： 一、积分中值定理（推广） 如下变换： 在积分区间[a，b]上 不变号的前提下，有 二、连续函数的介值定理 有一连续函数 ， ，必有一点 ，使得 对其推广，若已知n个节点， 则必有： 提高代数精度 增加节点个数 产生Runge现象 减少节点个数 降低代数精度 矛盾图 × 1、将求积区间[a，b]作n等分，并记： 2、则所求积分就可写成如下形式： 定义： 为了提高计算积分的精度，把积分区间分为若干个小区间，将 写成这些小区间上的积分之和。然后对每个小区间上的积分应用积分公式，并把每个小区间上的结果累加，所得求积公式称为复化求积公式。 选取小区间 ，对该区间运用梯形公式，进行求积运算。 对整个区间上每一个小区间都运用梯形公式，并累加求和，可得： 简单变形可得 复化梯形公式 ② ① ① ② 误差记为： 设 ，取其中一小段区间作为研究对象 这里需要运用P199，公式5.2.3 利用积分中值定理，得： 再将所有的误差累加，得： 由连续函数介值定理知，存在 ，使： 代入上式： 复化梯形公式误差公式 记 ，代入上式： 先验误差估计式 将公式 ，简单变形，可得： 对上式两边同时取极限，可得： 因此，将极限拿掉后，当h适当小时，即有： 类似可以得到： ① 对①式进行简单的变形，得： 此时，对于给定的精度 ，当 有： 后验误差估公式 记： 递推公式 常用来求解满足精度要求的积分值 公式形式： 截断误差： 后验误差估公式： 公式形式： 截断误差： 后验误差估公式： 定义： 设有计算 的复化求积公式 ，若存在正整数P和非零常数C，使得： 或当h很小时，有： 则称，求积公式 是P阶的。这里 。 由定义知，复化梯形公式，复化Simpson公式，复化Cotes公式分别是2阶，4阶和6阶的。 如果，被积函数的表达式并为给出，我们如何去求解被积函数，在已知定义域内的积分？ 或者说，在实际中我们只是得到一组数据，而这组数据的横坐标是否为均分，我们不得而知，此时我们要如何求解该积分？ 既然定义域未均分，那么我们可以找一个简单的，可以求得的函数来近似模拟未知的函数，通过求得模拟函数的积分，近似得到未知函数的积分。 即：构造函数 通过求解 则，问题转化为，如何去构造模拟函数 若已知一组数据 ，均来自于同一个函数表达式 ，我们有多少种方法来近似模拟 ？ 1、拉格朗日插值 2、牛顿插值 3、Hermite插值 4、分段线性插值 5、分段Hermite插值 6、最佳一致逼近多项式 7、最佳平方逼近多项式 均会产生Runge现象，产生波动性误差 9、有理函数插值 需要利用到1阶导数，给计算带来麻烦 8、3次样条插值 个人认为可行，留待日后共同讨论。 √ 若已知一组数据 ，均来自于同一个函数表达式 由之前所学的知识，构造分段线性函数 根据定积分性质的可加性，可知： 取其中第k个小区间 通过简单的计算，可以得到： 经典的梯形面积计算公式 如果我们假设每两个测定值的横坐标间距相等，令为h，则公式可化为： *