数值计算线性方程直接法实验.doc

实验报告二 一、实验目的 通过本实验的学习，应掌握各种直接法，如列主元消去法，追赶法等的基本思想和原理，了解它们各自的优缺点及适用范围。 二、实验题目 实验一 分别用列主元法和顺序高斯消去法求解下面的线性方程组，分析对结果的影响。 LU分解的优点 实验题目：给定矩阵A和向量b： ， 求A的LU分解，n值自己确定； 利用A的LU分解求解下列方程组 （a）Ax=b (b)Ax=b (c) Ax=b 对方程组(c)，若先求LU= A，再解（LU）x=b 有何缺点？ 追赶法的优点 实验题目：用追赶法分别对n=10,n=100,n=1000解方程组Ax=b，其中 ， 再用LU分解法求解此方程组，并对二者进行比较。 三、实验原理 顺序Gauss消去法： 步1 输入系数矩阵A，右端项b，置k:=1； 步2 消元：对k=，计算 ，, . 步3 回代： 对k=计算 列主元Gauss消去法： 步1输入系数矩阵A，右端项b，置k:=1； 步2对k=，进行如下操作 选列主元，确定，使 若=0，则停止计算，否则，进行下一步； 若 消元:对，计算 ，， . 步3 回代： 对k=计算 LU分解法： 步1输入系数矩阵A，右端项b，置k:=1； 步2 LU分解 步3 用向前消去法解下三角方程组Ux=y: 步4 用回代法解上三角方程组Ux=y： 对k=计算 追赶法: 先进行替换 实验内容 （1） A=[0.3e-16, 59.14, 3, 1; 1, 2, 1, 1; 11.2, 9, 5, 2; 5.291, -6.13, -1, 2]; b=[51.97, 2, 1, 46.78]; x1=magauss(A,b) x2=magauss2(A,b) （2） 1）第一步 function[A,b]=juzhen(n) A=zeros(n); b=zeros(n,1);b(n,1)=1; for i=1:n for j=1:n A(i,i)=n; if ij A(i,j)=n-j+i; else A(i,j)==0; end end end A b 第二步 LU分解 function [l,u]=lufj(A) [n,m]=size(A); n=length(b) u=zeros(n,n);l=eye(n,n); u(1,:)=A(1,:); l(2:n,1)=A(2:n,1)/u(1,1); for k=2:n u(k,k:n)=A(k,k:n)-l(k,1:k-1)*u(1:k-1,k:n); l(k+1:n,k)=(A(k+1:n,k)-l(k+1:n,1:k-1)*u(1:k-1,k))/u(k,k); end 2） （a） [A,b]=juzhen(5); [x,l,u]=malu(A,b) (b) 解下三角方程组Ly=b function y=lowt(l,b) n=length(b); y=zeros(n,1); y(1)=b(1); for k=2:n y(k)=b(k)-l(k,1:k-1)*y(1:k-1); end 解上三角方程组Ux=y function x=upt(u,y) n=length(y); x=zeros(n,1); x(n)=y(n)/u(n,n); for k=n-1:-1:1 x(k)=(y(k)-u(k,k+1:n)*x(k+1:n))/u(k,k); end 第三步 y=lowt(l,b); z=upt(u,y); w=lowt(l,z); x2=upt(u,w) xb2=malu(A*A,b) （c） y=lowt(l,b); z=upt(u,y); w=lowt(l,z); s=upt(u,w); t=lowt(l,s); x3=upt(u,t) xb3=malu(A*A*A,b) (3) A=zeros(n,n); for(i=1:n) A(i,i)=4; end for(i=1:n-1) A(i,i+1)=-1; end for(i=2:n) A(i,i-1)=-1; end 追赶法： n=7; a=-ones(n,1); c=a; b=4*ones(n,1); d=