第二章-行列式.ppt

上式右端的行列式为 n ?1 阶范德蒙行列式, 于是由归纳假设有 例7 求四阶行列式 解 原式 = 此为四阶范德蒙行列式, 于是 例8 计算行列式 解 上一页 第一章 行列式 看n+1 阶行列式 n+1 阶行列式为关于x的n次多项式，而其x的n-1次项前面的系数应为 而由n+1 阶行列式的计算式，其x的n-1次项前面的系数为 它们应该相等，即 例9 计算 n 阶行列式 解 上一页 ( i ? 2) 例10 解 设行列式为 求 其中 为元素 aij 的代数余子式 . 由性质3(行列式展开性质), 可知 例 11 解 例 12 每行提-1 证 令 由于 是 的三次多项式，且 例 13 不计算行列式值，利用性质证明 因此有 所求根为 x = 2 和 x = -4. 例 14 求方程 的根. 解 例 15 求行列式 解 本节作业： 习题2-3：1(1)(11),2(3),3(1) 上一页 定理1 设A,B分别为m，n 阶方阵，C为m×n 阶矩阵，则 证 由第一章结论，只用倍加行变换就可将方阵A,B 化为上三角阵，即 上一页 因此，对于分块对角阵做类似的倍加行变换可得 而Q 为上三角阵，再由倍加变换不改变矩阵的行列式，因此 上一页 定理2 设A,B均为n 阶方阵，则 （即乘积的行列式等于行列式的乘积） 证 由第一章结论，只用倍加行（或列）变换就可将方阵化为上三角阵， 即存在倍加阵 ，使得 其中 为上三角阵。由性质5（倍加变换不改变行列式）可得 上一页 上述结论可推广到 m 个矩阵的情形. 设 A1 , A2 , …, A m 为 m 个 n 阶方阵，则 |A1A2…Am|=|A1||A2|…|Am|. 特别地，对于 n 阶方阵A，有 |Ak|=|A|k. 上一页 例1 本节作业： 习题2-4：1(1)(3) * 第一节 行列式的定义 第二节 行列式的性质 第三节 行列式的计算 第四节 分块三角行列式与矩阵乘积行列式 一、二元一次方程组的求解公式 二、二阶行列式的概念 一、二元一次方程组的求解公式 设关于 x1, x2 的二元一次方程组为 (1.1) 其中 a11, a12, a21, a22, b1, b2 均为已知常数. 可用中学学过的消元法解此方程组. (1.2) 将它代入第一个方程并化简, 得 (1.3) (1.2) 和 (1.3) 给出了方程的方程组 (1.1) 的求解公式 ( 当 a11 a22 ? a12 a21 ? 0时). 下面介绍一种更简单的记法表示求解公 式 ( 1.2 ) , ( 1.3 ) . 二、二阶行列式的概念 副对角线 主对角线 定义1 二阶行列式（二阶方阵的行列式） 对方程组 若令 系数矩阵行列式 ( 1.4 ) 公式 (1.4 ) 与公式 (1.2 ) ,(1.3 ) 表示的是同一解, 但显然公式 (1.4 ) 简单易记得多. 此方法称为解两个方程两个未知量的二元一次方程组的克莱姆(Cramer)法则. 例1 解此方程组 2x1 + 3x2 = 5 , ?3x1 + x2 = 3 , 解 = 2 + 9 = 11 ? 0 , = 5 ? 9= ? 4, 则当行列式 D ? 0 时, 上述方程组(1.1)的解可简记为 上一页 一、n阶行列式的定义 二、三阶行列式 定义2 一、n阶行列式的定义 为了得到 n 阶行列式的定义和讨论其性质, 先引 入余子阵的概念. n阶方阵 去掉 所在的第i 行与第j 列元素，所余下的元素按照原来的次序所组成的n-1 阶方阵，称为 的余子阵，记为A(i,j). 例1 3阶方阵 中 的余子阵分别为： 定义2 将二阶行列式的定义推广，便得到了n阶行列式的的递归定义 n阶方阵 ，将 称为A的行列式，其运算规则如下： 一个由A决定的实数 注意：矩阵为数表，行列式为由矩阵决定的实数。行列式是矩阵的 一个重要数值特征，也是我们接触的矩阵第一个重要的数值特征， 矩阵的另两个重要数值特征：秩与特征值，我们将在后面陆续进行介绍。 二、三阶行列式 三阶行列式 三阶行列式的计算可如下图（