由“90°的圆周角所对的弦是直径”所想到的_Microsoft_Word_文档.doc

由“90°的圆周角所对的弦是直径”所想到的 一、问题提出: 我们知道,圆有一个重要的性质: 的圆周角所对的弦是直径.这个定理也可以表述为: 的圆周角所对的弦都经过一个定点(圆心). 对于抛物线、椭圆、双曲线，是否也有类似的性质呢？ 二、问题探究: （一）、抛物线: 例1：已知抛物线，是坐标原点(一个定点)，作射线交抛物线于(是两个动点)，.求证：直线过定点. 证明：如图1,显然直线斜率不是，设直线的方程为，联立得：，显然，， 设，则，，又，∴， 即，又，， ∴，∴， 解得，或. 当时, 直线的方程为,直线过定点,不符合题意. 当时,直线的方程为，显然直线过定点 . 综上, 直线过定点. 例2：已知抛物线，是上的一个定点，作射线交抛物线于，.求证：直线过定点. 证明：如图2,显然直线斜率不是，设直线的方程为，联立得：，显然，，设，则，，又，∴， 即， 即， 又，，∴ ， ∴，解得，或. 当时,,即,即直线过定点,不符合题意. 当时,,即,即直线过定点. 综上, 直线过定点. （二）、椭圆： 例3：已知椭圆，是的一个顶点，作射线交椭圆于，.求证：直线过定点. 证明：如图3,显然直线有斜率，设直线的方程为， 联立得：， 当时，设， 则 又，∴， 即， ， 又，， ∴， 把代入上式得： ，注意到显然不合题意， 于是上式化为：， 整理得，∴. 即直线的方程为，显然直线过定点. 例4：已知椭圆，是椭圆上的一个定点，作射线交椭圆于，.求证：直线过定点. 证明：如图4,显然直线有斜率，设直线的方程为， 联立得：， 当时，设， 则 又，∴， 即， 又，， ∴， 把代入上式化简得， 解关于的方程得：，或. 当时, 即,由此得解得, 即直线过定点,不符合题意. 当时, 即, 由此得解得, 即直线过定点. 综上, 直线过定点. （三）、双曲线： 例5：已知等轴双曲线，是等轴双曲线的一个顶点，作射线交椭圆于，.试探求直线是否过定点. 解：如图5,可以计算，当直线没有斜率时，，当直线有斜率时，设直线的方程为， 联立得：， 当，时，设， 则 又，∴， 即， 又，， ∴， 把代入上式化简得， 解关于的方程得：，或. 当时, 直线的方程为,直线平行于轴，不过定点. 当时,直线的方程为，显然直线过定点，不合题意. 综上, 直线不过定点. 例6：已知双曲线，是双曲线的一个顶点，作射线交椭圆于，.试探求直线是否过定点. 解：如图6, 当直线没有斜率时，，当直线有斜率时，设直线的方程为，联立得：， 当，时，设， 则 又，∴， 即， 又，， ∴， 把代入上式化简得， 解关于的方程得：，或. 当时, 直线的方程为,直线过定点,不合题意.当时,直线的方程为，显然直线过定点. 综上, 直线过定点. 对于例5、例6，我们可以继续做一些点不是顶点的题目,也有类似的结果. 三、类比结论: 若点 在圆锥曲线上，类比圆周角的定义我们可把叫做“圆锥曲线周角”. 类比“90°的圆周角所对的弦是直径”我们有如下结论: 1、90°的椭圆周角、抛物线周角、双曲线（不是等轴双曲线）周角所对的弦所在的直线过定点； 2、90°的等轴双曲线周角所对的弦互相平行.