3_3后3.1-3.3习题课.ppt

一、 微分中值定理及其应用 2. 微分中值定理的主要应用 例1. 例3. 例3. 例5. 设函数 例5. 设函数 例6 例7. 求 解法2 利用泰勒公式 解法3 利用罗必塔法则 * 拉格朗日中值定理 1. 微分中值定理及其相互关系 罗尔定理 柯西中值定理 泰勒中值定理 (1) 研究函数或导数的性态 (2) 证明恒等式或不等式 (3) 证明有关中值问题的结论 3. 有关中值问题的解题方法 利用逆向思维 , 设辅助函数 . 一般解题方法: 证明含一个中值的等式或根的存在 , 可用原函数法找辅助函数 . 多用罗尔定理, (2)所证式中出现两端点, 可考虑用 拉格朗日定理 . (3) 若结论中涉及到含中值的两个不同函数 , 可考虑用 柯西中值定理 . (4) 若结论中含两个或两个以上的中值 , 必须多次应用 中值定理 . (5) 若已知条件中含高阶导数 , 多考虑用泰勒公式 , (6) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的技巧. 有时也可考虑对导数用中值定理 . 设函数 f (x) 在[0, 3] 上连续, 在(0, 3) 内可导, 且 分析: 所给条件可写为 试证必存在 想到找一点 c , 使 证: 因 f (x) 在[0, 3]上连续, 所以在[0, 2]上连续, 且在 [0, 2]上有最大值 M 与最小值 m, 故 由介值定理, 至少存在一点 由罗尔定理知, 必存在 且 试证存在 分析: 欲证 若结论中涉及到含中值的两个不同函数 , 可考虑用 柯西中值定理 . 且 试证存在 证: 因 f ( x ) 在 [ a , b ] 上满足拉格朗日中值定理条件, 故有 ① 故有 将①代入② , 化简得 ② 若结论中含两个或两个以上的中值 , 必须多次应用 中值定理 . 分析: 问题转化为证 在 上二阶可导, 且 证明 (5) 若已知条件中含高阶导数 , 多考虑用泰勒公式 , (6) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的技巧. 有时也可考虑对导数用中值定理 . 分析: 在 上二阶可导, 且 证明 证: 由泰勒公式得 两式相减得 求下列极限 : 解: 令 则 原式 = 解: (用洛必达法则) (继续用洛必达法则) 解: 原式 = 解法1 利用中值定理求极限 原式 令 则 原式 原式