平面向量知识归纳和题型总结.doc

平面向量 章节分析: 向量是近代数学中重要和基本的概念之一,具有代数形式和几何形式的“双重身份”,能融数形于一体, 是沟通代数与几何的天然桥梁，能与中学数学内容的许多主干知识相结合,形成知识交汇点.向量是沟通代数、几何和三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景,在数学和物理学科中有重要应用. 向量有深刻的几何背景,是解决几何问题的有力工具,向量概念引入后,许多图形的基本性质都可以转化为向量的运算体系,例如平行、垂直、夹角、距离等. 对本章的学习要立足基础,强化运算,重视运用,能根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算,并能运用向量知识解决平面几何中的一些证明和计算问题. 平面向量的概念、几何运算和基本定理 1.向量的相关概念 2.向量的线性运算 3.向量的共线定理 非零向量与向量共线,当且仅当存在唯一一个实数,使。 延伸结论:三点共线当且仅当有唯一,使 4.平面向量的基本定理 如果是一个平面内两个不共线向量,那么对这平面内的任一向量,有且只有一对实λ1,λ2使:其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底是平面向量, ①若当且仅当且.②若则. （2）如图为单位向量，，其中的夹角为，的夹角为。若，求的值。 5.一个常用结论:中, 为边的中点, 则有:. 练习:设的重心为点,设试用表示. 典型例题分析: 知识点一:基本概念 例1. 1.如果是平面内两个不共线向量,那么下列各的有( )①()可以表示平面内的所有向量平面内的所有向量可以表示()。 ②对于平面中的任一向量使,有无数多对③若向量与共线则有且只有一个,④若实数使,则A.①② B.②③ C.③④ D.② 练习:1) 判断下列命题的真假 (1)向量与向量为共线向量,则四点共线. (2)若则四边形为平行四边形. (3)若向量,则. (4)是两个向量,则当且仅当不共线时成立 知识点二:向量的线性运算 例1. 化简: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 例2.如图,四边形,,分别为,的中点,求证:.已知三个顶点,,及平面内一点,若,则A.在内部B.在部C.在边所在直线上D.在线段上 是平行四边形的对角线的交点,为任意一点,则= 知识点三:平面向量基本定理和共线定理 例1.1）已知为不共线向量,用表示. 2) 设,是两个不共线的向量,已知,,若,,三点共线,求的值. 例2. 证明:平面内三点共线存在两个均不为的实数, 使且 练习: 证明:平面内三点共线存在三个均不为的实数, 使且 向量数量积及坐标运算 一、基本知识回顾: 1、已知向量其中:向量的坐标表示,实际是向量的代数表示.在引入向量的坐标表示后,即可使向量运算完全代数化,将数与形紧密地结合了起来 实数λ与向量的积是一个向量记作λ实数与向量的积 数量积 存在唯一的实数使 （） 向量 向量 () 向量的模 向量夹角 三点共线 练习: 判断下列命题的真假 1）若向量,,则. 2）若则 3） 4） 5） 6） 2、已知.若,则 ;若,则 . 3、已知则与同向的单位向量是 ,与平行的单位向量是 . 4、已知点和向量,若,则点的坐标为 5、已知,,若,求实数 6、已知,则 7）下列各组向量中,可以作为平面基底的是（ ） A. B. C. D. 8）已知,则在方向上的投影为 二、典型例题讲解 例1:1）已知与的夹角为,求: （1）在方向上的投影（2）（3） 2）4、在直角中,是斜边上的高,则下列等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 3）已知向量夹角为，的夹角为锐角，求的范围。 练习:1）已知向量,满足 2）在中，已知求边的长度 例2: 1）已知,点在线段的延长线上,且,求点的坐标（若点在直线上） 2）在中,点在上,且,点是的中点,若,则 例3:已知向量,. （Ⅰ）当,且时,求的值; （Ⅱ）当,且∥时,求的值. 解:（Ⅰ）当时,, , 由, 得,………3分 上式两边平方得, 因此,.……………6分 （Ⅱ）当时,, 由∥得 .即.………9分 ,或 .…………12分 . 且 1)当时,求的集合; 2)求; 3）求函数的最小值 4）求函数的最小值 5）若的最小值是,求实数的值. 练习:1）设是不共线的两非零向量,若,且夹角为,求为何值时,的值最小. 2）已知向量==且∈. （1）求·及|+|; (2)若 = ·-|+|,求的最大值和最小值. 向量与三角形 平面向量的应用十分广泛.由于三角形中的有关线段可以视为向量,线线之间的位置关系、大小关系以及边角关系均可以用