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2011年全国各地中考试题压轴题精选讲座八探究操作性问题
2011年全国各地中考试题压轴题精选讲座八
探究、操作性问题
【知识纵横】
探索研究是通过对题意的理解,解题过程由简单到难,在承上启下的作用下,引导学生思考新的问题,大胆进行分析、推理和归纳,即从特殊到一般去探究,以特殊去探求一般从而获得结论,有时还要用已学的知识加以论证探求所得结论。操作性问题是让学生按题目要求进行操作,考察学生的动手能力、想象能力和概括能力。
【典型例题】
【例1】(南京)问题情境:已知矩形的面积为(为常数,>0),当该矩形的长为多少时,它的周长最小?最小值是多少?
数学模型:设该矩形的长为,周长为,则与的函数关系式为.
探索研究:⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验,先探索函数的图象性质.
填写下表,画出函数的图象:
x …… 1 2 3 4 …… y …… …… ②观察图象,写出该函数两条不同类型的性质;
③在求二次函数的最大(小)值时,除了通过观察图象,还可以通过配方得到.请你通过配方求函数(x>0)的最小值.
解决问题:⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题,直接写出答案.
(湖南岳阳)九 (1)班数学课题学习小组,为了研究学习二次函数问题,他们经历了实践﹣﹣应用﹣﹣探究的过程:
(1)实践:他们对一条公路上横截面为拋物线的单向双车道的隧道(如图①)进行测量,测得一隧道的路面宽为10m,隧道顶部最高处距地面6.25m,并画出了隧道截面图,建立了如图②所示的直角坐标系,请你求出抛物线的解析式.
(2)应用:按规定机动车辆通过隧道时,车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m.为了确保安全,问该隧道能否让最宽3m,最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶(两车并列行驶时不考虑两车间的空隙)?
(3)探究:该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识,他们借助上述拋物线模型,提出了以下两个问题,请予解答:
I.如图③,在抛物线内作矩形ABCD,使顶点C、D落在拋物线上,顶点A、B落在轴 上.设矩形ABCD的周长为,求的最大值.
II?如图④,过原点作一条=的直线OM,交抛物线于点M,交抛物线对称轴于点N,P 为直线0M上一动点,过P点作轴的垂线交抛物线于点Q.问在直线OM上是否存在点P,使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形?若存在,请求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
【思路点拨】(1)利用顶点式求解。(2)可得当=2时,正好是两辆汽车的宽度。(3)I.首先表示出矩形周长,再利用二次函数最值公式求出。II.利用等腰直角三角形的性质,以及P在=的图象上,即可得出P点的坐标。
【例3】(湖南株洲)孔明是一个喜欢探究钻研的同学,他在和同学们一起研究某条抛
物线的性质时,将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原
点O,两直角边与该抛物线交于A、B两点,请解答以下问题:
(1)若测得OA=OB=(如图1),求的值;
(2)对同一条抛物线,孔明将三角板绕点旋转到如图2所示位置时,过B作轴于点F,测得OF=1,写出此时点B的坐标,并求点的横坐标;
(3)对该抛物线,孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现,交点A、B的连线段总经过一个固定的点,试说明理由并求出该点的坐标. 【思路点拨】(2)过点A作AE⊥轴于点E,证△AEO∽△OFB,得出AE=2OE,可得方程点A的横坐标。(3)设A(,)(),B(,)(),可证△AEO∽△OFB,再根据相似三角形的性质可知交点A、B的连线段总经过一个固定的点(0,-2)。
【学力训练】
1、(福建漳州)如图1,抛物线y=mx2-11mx+24m (m<0) 与x轴交于B、C两点(点B在点C的左侧),抛物线另有一点A在第一象限内,且∠BAC=90°.
(1)填空:OB=_ ▲ ,OC=_ ▲ ;
(2)连接OA,将△OAC沿x轴翻折后得△ODC,当四边形OACD是菱形时,求此时抛物线的解析式;
(3)如图2,设垂直于x轴的直线l:x=n与(2)中所求的抛物线交于点M,与CD交于点N,若直线l
沿x轴方向左右平移,且交点M始终位于抛物线上A、C两点之间时,试探究:当n为何值时,四边形
AMCN的面积取得最大值,并求出这个最大值.(扬州)在△ABC中,∠BAC=900,AB<AC,M是BC边的中点,MN⊥BC交AC于点N.动点P从点B出发沿射线BA以每秒厘米的速度运动.同时,动点Q从点N出发沿射线NC运动,且始终保持MQ⊥MP,设运动时间为秒().
(1)△PBM与△QNM相似吗?以图1为例说明理由;
(2)若∠ABC=600,AB=4厘米.
①求动点Q的运动速度;
②设△APQ的面积为S(平方厘米),求S与的函数关系式;
(3)探求三者之间的数量关系,以图1为例说明理由.
3、(湖南永州)探究问题:
⑴方法
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