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运用微元思维方法解物理竞赛试题 吕贤年 袁孝金 所谓微元思维方法—是指从整体中取某个特定的微小部分作为研究对象，从而达到解决事物整体问题的一种思维方式。这种思维方法是基于宏观事物的普遍性（即共性）不仅存在于事物发展的全过程中，而且也包含在每微元的特殊性（即个性）之中这一基本属性的基础上，而产生的一种创造性思维方式。因此，我们在研究物理问题时，对于某一具体的研究对象，当从整体或宏观上无法求解时，运用微元思维方法，往往会收到化难为易，化繁为简的意想不到的效果。本文试通过近年来的有关全国中学生物理竞赛试题为例，导析微元思维方法解题的一般思路，供同学们参考。 一、长度微元△l 对长度进行微小分割，称为线分割，分割出来的长度单元，称之为长度微元，用△l表示。 例1 一根无限长的均匀带电细线，弯成图1所示的平面图形。其中AB是半径为R的半圆弧，AA′∥BB′。试求圆心O处的电场强度。（1988年全国中学生物理竞赛试题） 解析 因为电荷均匀布在整条曲线上，所以不能把它当作点电荷处理。因此，无法直接应用初等方法求出它在O点所形成的电场强度。如果将曲线分成无数小线元，可看作点电荷，则弯曲的带电细线在O处所产生的电场，就是各小段线元在O处的电场强度，就能按矢量合成法求得曲线整体在O处的电场强度。 在半圆弧AB上取任一小段线元ab＝△l，则线元ab对应的圆心角为△θ，对应于直导线线元为a′ b′。当△θ→0时，a逼近于b，a′逼近于b′。此时，我们可以认为ab所带电荷△Q集中于一点（如b点），a′ b′ 所带的电荷集中于对应的另一点（如b′点）。这样，对于△θ张角所包含的区域在O点所形成的场强，我们认为是由两个点电荷形成的。 设细线上单位长度所带的正电荷为η，则ab线元所带的电荷为△q＝R△θ,△q在O点所形成的场强为：△E＝k，其中△E的方向指向O b′。 a′ b′ 线元所带电荷为△q＝a′ b′，距离圆心O的距离用r表示（△θ越小，以上考虑越准确），作a′a″垂直于Ob′，则∠a′′a′b′＝∠b′OB＝θ + △θ ≈ θ。因而a′ b′＝ a′a′′/cos＝ a′a″r/R，又因为a′a″＝ rθ，故得：a′ b′ ＝r2△θ/R.。 因此，点电荷在O点产生的电场强度的大小为：△E′＝k＝k＝ab与a′ b′ 在O点产生的场强之和为零。根据同样的分析可知，AB上各小段电荷与细线直线部分各小段电荷──对应地在O点产和的场强相消，故整个细线电荷在O点的电场强度为零。 二、面积微元△S 对面积进行微小分割，称为面积分割，分割出来的面积单元称为面积微元，用△S表示。一个面积元通常需用两个参量表示。 例2在水平放置的洁净的平玻璃板上倒一些水银，由于重力和表面张力的影响，水银近似呈圆饼形状（侧面向外凸起），过圆饼轴线的竖直截面如图2所示。为了计算方便，水银和玻璃的接触角可按180°计算，已知水银的密度ρ＝13.6×103 kg/m3，水银的表面张力系数δ＝0.49N/m，当圆弧饼的半径很大时，试估算其厚度h的数值大约是多少？取1位有效数字即可。（1988年全国中学生物理竞赛试题） 解析 洁净的玻璃平板上的水银呈现圆饼形状。此时，由于水银所受重力的作用而产生对水银圆饼侧壁的压力，方向向外，与指向圆饼内水银的表面张力相平衡，若以整个圆饼为研究对象，很难列出对应的方程求解。 在侧面任一处取宽为Δx，高为h的面积元ΔS，则由于重力而产生的水银对ΔS的侧压力为： F＝·S＝·h·x＝·x…………① 式中＝为水银对侧壁的平均压强，由于压力F使圆饼侧面向外凸出，因而使侧面的面积增大，如图3所示，但是在水银与空气接触的表面层中，由于表面张力作用，又使水银面有收缩到最小的趋势，上下两层的表面张力的合力的水平分力F′指向水银内部，与F的方向相反。 设上表面处的表面张力F1的方向与水平方向成θ角，则的大小为： F′＝F1cosθ + F2 ＝δΔx·cosθ +δ·Δx ＝δ·Δx（1+ cosθ）…………② 当水银面的形状稳定时，F′＝ F。由于圆饼半径很大，面积元ΔS两侧的表面张力F3、F4可认为大小相等，方向相反而抵消，因而由①②得： δΔx（1+cosθ）＝ρgh2Δx/2…………③ 由③可得：?h ＝0＜θ＜，所以有：1＜＜ 将δ和ρ的数值代入④式可得： h＝≈0.027……⑤ 即上的取值范围是2.7×10-3＜h＜3.78×10-3m，所以水银层的厚度的估算数值可取为3×10-3或4×10-3m。 三、体积微元ΔV 对体积进行微小分割称为体积分割，分割出来的体积单元，称为体积微元，用ΔV表示。实际问题中，所分割的体积元可以有多种形式，其中最常见的是正交体积分割，分割出来的体积元在三维正交坐标中，可表示为ΔV＝Δx·Δy·Δδ。 例3 空间