高等数学方法指导方法上4.ppt

第四讲 2-3 导数的应用方法 第二充分条件 (3) 凹凸性 (5) 函数作图 二. 实例分析 例2. 设 例3. 设 例4. 已知函数 故拐点轨迹的参数方程为 例5. 判断复合函数 例6. 求数列 例7. 求笛卡儿叶形线 例8. 设 设此时 例9. 已知平面曲线 L 的方程为 得 例10. 设 x 0 时 , 方程 例11. 例12 设在 例13 在什么条件下方程 当 2-4 不等式的证明方法 2.证明不等式的常用技巧 3.关于导数的不等式定理 二. 实例分析 例2.比较 当 例3. 设 例4. 设 例5. 证明: 当 例6 证明 例7 设 法1 例8 证明当 x 0 时, 法3 例9 设 例10 设在 推论: 设 例11 设 例12 设函数 例13 设函数 例14 设在 例15 设光线从介质Ⅰ的 A 点发出后经界面上 P 点折射 因 因此只有惟一的驻点 证: 利用“形似”构造辅助函数 则 又 故 且 证: 证明 (P107 例2) 由 利用极值推广判别法可知 为唯一的极小值点 , 故 也是最小值 , 因此当 时 即 例8 证明当 x 0 时, 证: 令 则 法2. 由 在 处的二阶泰勒公式 , 得 在 x 故所证不等式成立 . 与 1 之间) 故当 时 即 且 证:原式 证明 (P112 例11) 令 它们在 [ x , y ] 上满足柯西定理条件, 因此有 即 因 内 证:令 证明 对任给 (P114 例14) 有 利用一阶泰勒公式 , 有 各式相加 , 注意 即所证不等式成立 . 则 (P115 例15) 提示: 取对数 , 归结为证明 令 则 利用例10 可推出结论. 证明 对任给 有 例10 设在 内 在 证:将 上有三阶导数,且 求证至少存在一点 在 两式相减 , 得 使 处展成二阶泰勒公式: 令 , 则 在 上二阶可导, 且 证明对任意 总有 证: 由一阶泰勒公式得 (P119 题22) 下式减去上式 , 得 在 上二阶可导, 且 证明存在一点 使 证: 由一阶泰勒公式得 (P84 例12) ( 界于a , x之间) ( 界于x , b之间) 两式相减 , 并令 得 记 则有 内 证明: 有 证: 令 则对 有 令 得 令 得 即原不等式成立 . (同济(上)P183 题19) Ⅱ Ⅰ 到介质Ⅱ的 B点,试证明折射定律. 界面 证: 设 CD 距离为 光线在介 质Ⅰ,Ⅱ中的速度分别为 则光线从 A 到 B 所费的时间 因光线走过的路程是花费时间最少的路程, 故考察 * 导数的应用 及 不等式的证明方法 一. 方法指导 1. 导数在研究函数性态方面的应用 (P88,3; P90,4) (1) 增减性 若 则 f (x) 在 I 上递增 ; 若 则 f (x) 在 I 上递减 . (2) 极值点 第一充分条件 ( f (x)在 连续) 左正右负, 在 两侧, 为极大值点 ; 左负右正, 为极小值点 . 若 则 为极小值点 ; 若 则 为极大值点 . 推广的充分条件 (P102 定理) 若 且 则 为极小值点 ; 则 为极大值点 . 提示: 利用泰勒公式 正负号由 决定 . 若在 I 上 则 凹; 若在 I 上 则 凸. (4) 渐近线 若 则 有水平渐近线 若 则 有垂直渐近线 若 则 有 斜渐近线 ( P90 , 4(1) ) 2. 导数在最值问题中的应用 (P91, 5 ; P92 , 6) (1) 建立目标函数及其转化 一般因变量取为目标变量 , 自变量的选取应使目标函数尽可能简单. (2) 最值的判别问题 3. 导数的其他应用 几何应用 ( P87, 1 ) ; 相关变化率 ( P88, 2 ) ; 研究方程的实根问题 存在性: 利用零点定理或罗尔定理 唯一性: 利用单调性或用反证法 例1. 证明函数 在 上单调 增加. (P95 例4) 证: 当 x 0 时, 故 因此 在 上单调增加 . 在 上可导, 且 证明 f ( x ) 至多只有一个零点 . (P95 例5) 证: 设 则 故 在 上单调递增, 从而至多只有 一个零点 . 又因 因此 也至多只有一个零点 . 对一切实数 x 满足方程 证明 f (x) 在 取极值必为极小值 . (P97 例8) 证: 设 f (x) 在 取极值 , 则必有 由方程可知 当 时, 故 必为极小值 . 当 时, 求当 a 变动 时函数 f (x) 的拐点的轨迹方程 . 解: 令 得 即 易知 通过此点变号. 将此点代入 y = f (x) , 得 故拐点轨迹的参数方程为 消