4函数的单调性(教师版).doc

第三课时 函数的单调性 一：知识呈现 1．增函数与减函数 一般地，设函数的定义域为。 ? 增函数 减函数 定　义 一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2， 当x1＜x2时，都有 ，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 X1＜x2时，都有 ，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 2.图像描述 ? 增函数 减函数 图象描述 自左向右看图象是 逐渐上升的 自左向右看图象是：逐渐下降的 注意： 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1x2时，总有f(x1)f(x2) ． 3．函数的单调性定义 如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间： 4．判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤： 任取x1，x2∈D，且x1x2； 作差f(x1)－f(x2)； 变形（通常是因式分解和配方）； 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）． 5.单调性常用结论 （1）函数与函数的单调性相反 （2）当恒为正或恒为负时，函数与的单调性相反 （3） 增 减 增 减 增 减 增 减 减 增 增 减 当时 增 减 增 减 增 减 当时 增 减 增 减 减 增 6．复合函数单调性的判断 对于函数和，如果在区间上是具有单调性，当时，，且在区间上也具有单调性，则复合函数在区间具有单调性的规律见下表： 增 ↗ 减 ↘ 增 ↗ 减 ↘ 增 ↗ 减 ↘ 以上规律还可总结为：“ 同增异减 ”. 二：典型例题 考点一：函数单调性的判断 ． 例1．对于函数y=x3, (1)画出它的图象，(2)写出它的单调区间，并用定义证明之. 解:由图像知:y=x3的单调增区间为（-∞，+∞）. 证明:显然y=x3的定义域为（-∞，+∞）, 在R内任取x1和x2, 使x1x2, f(x1)-f(x2)=x13-x23 =(x1-x2)(x12+x1·x2+x22)=(x1-x2)[(x1+x2)2+x22] ∵x1x2,∴x1-x20, 又∵(x1+x2)2≥0, x22≥0，且(x1+x2)2与x22至多一个为0， ∴ f(x1)-f(x2)0 即f(x1)f(x2),∴函数f(x)在(-∞,+∞)内为增函数. 例2.讨论函数在(-2,2)内的单调性. 解：∵，对称轴 ∴若,则在(-2,2)内是增函数； 若则在(-2,a)内是减函数,在[a,2]内是增函数 若,则在(-2,2)内是减函数. 练习1：证明函数在（0，+∞）上是增函数. 证明：设是R上的任意两个实数，且，则 练习2：证明函数在(0,+)上是减函数. 证明：设,是(0,+)上的任意两个实数，且， 考点二：函数单调性的运用 例3．函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是递增的，求实数a的取值范围． 解：f(x)＝＝＝＋a. 任取x1，x2∈(－2，＋∞)，且x1x2， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝. ∵函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上为增函数， ∴f(x1)－f(x2)0. ∵x2－x10，x1＋20，x2＋20， ∴1－2a0，a. 即实数a的取值范围是. 评析：对于函数单调性的理解，应从文字语言、图形语言和符号语言三个方面进行辨析，做好定性刻画、图形刻画和定量刻画．逆用函数单调性的定义，根据x1－x2与f(x1)－f(x2)是同号还是异号构造不等式，通过分离参数来求其取值范围． 例4.已知函数f (x)＝ (a≠1). (1)若a＞0，则f (x)的定义域是 ； (2)若f (x)在区间(0,1]上是减函数，则实数a的取值范围是 . 解析：当a＞0且a≠1时，由3－ax≥0得x≤，即此时函数f(x)的定义域是(－∞，]； (2)当a－1＞0，即a＞1时，要使f(x)在(0,1]上是减函数，则需3－a×1≥0，此时1＜a≤3. 当a－1＜0，即a＜1时，要使f(x)在(0,1]上是减函数，则需－a＞0， 此时a＜0. 综上所述，所求实数a的取值范围是(－∞，0)∪(1,3]. 答案：(1)(－∞，](2)(－∞，0)∪(1,3] 考点三:函数单调性与最值 例5.已知函数对任意总有，且当时， 求证：函数是R上的减函数； 求在 上最大值和最小值。 解：(1)解法一