第7讲数学物理方程.ppt

* 一个周期函数f(t)，周期 ，满足狄里赫利条件，即函数在一个周期内有有限个极值点和第一类间断点，则f(t)可展开成三角函数 系数为 第二章分离变量法 §1 傅里叶级数 第二章分离变量法 §1 傅里叶级数 指数形式的傅里叶级数 其中 基本思想： 首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。 适用范围： 波动问题、热传导问题、稳定场问题等 特点： a.物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作保证； b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。 §2 齐次方程齐次边界条件的定解问题 代入方程： 令 代入边界条件 1 求两端固定的弦自由振动的规律 一 有界弦的自由振动 令 (4) (6) (7) （5） 本征（固有）值问题：含有待定常数常微分方程在一定条 件下的求解问题 本征（固有）值：使方程有非零解的常数值 本征（固有）函数：和特征值相对应的非零解 分情况讨论： 1） 2） 3） 令 ， 为非零实数 （8） （9） 把（8）式代入（6）式，得 （10） 其中Cn和Dn是任意常数。将(9)(10)代入(4)式，得 (11)式满足方程(1)和边界条件(2)，但一般不满足初始条件(3)。 为了满足(3)式，按照解的叠加原理，将(11)式对n求和，即 （11） （12） 将(12)式代入(3)式，得到 故定解问题的解为 其中 ?分离变量 ?求特征值和特征函数 ?求另一个函数 ?求通解 ?确定常数 分离变量法可以求解具有齐次边界条件的齐次偏微分方程。 2 解的性质 x=x0时： 其中： 驻波法 t=t0时： 例1：设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为 ，求弦作微小横向振动时的位移。 解： (1)分离变量 (2)求本征值和本征函数 (3)求另一个微分方程 (4)求通解 (5)确定常量 解： 例2求下列定解问题 (1)分离变量 (2)求本征值和本征函数 (3)求另一个微分方程 (4)求通解 初始条件 (5)确定常量 二 有限长杆上的热传导 令 带入方程： 解： 令 令 带入方程： 令 例3 求下列定解问题 解： 例4 求下列定解问题 解： 若 则u为多少？为什么会出现这样的现象？ 思考 分离变量流程图 三 拉普拉斯方程的定解问题 解： *