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问题： 已知系统的输入信号，系统的输出随时间变化的规律如何？ 微分方程的求解 经典法求解 拉氏变换法求解 简单 2.3 拉氏变换及其应用 1.拉氏变换 f(t)?F(s) 5.拉氏变换法求解微分方程 4.拉氏反变换 F(s)?f(t) 3.拉氏变换的基本定理 2.常用信号的拉氏变换 已知时域函数f(t)，如果满足相应的收敛条件， 定义其拉氏变换为 其中： f(t)? 变换原函数 F(s)? 变换象函数 s = ?+j? ?复变量 记为 2.3.1 拉氏变换的定义 2.3.2 常用信号的拉氏变换 （1）单位脉冲信号 数学表达式 单位脉冲信号的说明： 1）单位脉冲信号面积（积分）： 2）关于拉氏变换的积分下限 。0-，0，0+ 3）理想脉冲信号与实际脉冲信号。 （2）单位阶跃信号 时间波形 由拉氏变换定义式 （3）单位斜坡信号 由分部积分公式 数学表达式 时间波形 （4）指数信号 数学表达式 时间波形 拉氏变换为 （5）正弦、余弦信号 由于 所以 由欧拉公式 所以有 2.3.3 拉氏变换的一些基本定理 （1）线性定理 若 则 （2）延迟定理 f1(t) ? F1(s) ，f2(t) ? F2(s)， L[af1(t)+bf2(t)]=aF1(s)+bF2(s) 若 f(t) ? F(s) 则 L[f(t-?)]=e-?s F(s) 例2 周期锯齿波信号如图所示，试求该信号的拉氏变换。 0 t f(t) T =0.5 s T 0 t f1(t) 0 t 0 t 0 t = _ 0 t 0 t + = t ·1(t) (t-T/2) · 1(t-T/2) T/2 · 1(t-T/2) 0 t f1(t) 0 t = 0 t 0 t + (t-T/2) ·1(t-T/2) -T/2 · 1(t-T/2) (t-T) ·1(t-T) - 0 t 延迟定理 （3）衰减定理 若有 f(t) ? F(s) 则 与延迟定理是对偶的 例 试求函数 的拉氏变换。 已知 由衰减定理直接得到 解： （4）微分定理 若有 f(t) ? F(s)，且f(t)的各阶导数存在， 则f(t) 各阶导数的拉氏变换为： 当各阶导数的初值均为零时: …… （5）积分定理 （6）初值定理 若 f(t) ? F(s)， 则 若 f(t) ? F(s)，且在t=0+处有初值 f(0+)， 时域函数f(t)的初值可以由s域函数F(s)得到。 （7）终值定理 若f(t) ? F(s)，且f(∞)存在， 则时域函数f(t)的终值可以由s域函数F(s)得到。 （8）卷积定理 若函数分别有其拉氏变换： f1(t) ? F1(s) ，f2(t) ? F2(s)， 时域函数的卷积分为 或者 则 拉氏变换的优点： 1.简化函数 2.简化运算 2.3.4 拉氏反变换 拉氏变换： 已知 f(t) ? 求 F(s) 逆运算： 已知 F(s) ? 求 f(t) 计算公式： 部分分式法 拉氏反变换为： 留数 1. A(s)=0 全部为单根，s1,s2,…,sn 例 已知 ，求拉氏反变换。 解： 对应的留数为 ： s1=-2，s2=-3， 2.A(s)=0 有重根 设s1为单根，s2为m重根，m+1=n， F(s)可以展开为 单根系数C1计算如前。由留数定理计算重根各系数如下: 拉氏反变换为 例 求 拉氏反变换f(t)。 解：F(s)分解 单根项系数：s1=0，s2=-3 重根项系数： s3=-1，2重 得到： 3.A(s)=0 有共轭复数根 单根看待！ 例 已知 ，试求其f(t) 1.分离常数项 2.余式整理 解： 2.3.5 拉氏变换法求解微分方程 拉氏变换法求解微分方程步骤如下： 1.方程两边作拉氏变换； 2.代入初始条件和输入信号； 3.写出输出量的拉氏变换； 4.作拉氏反变换求出系统输出的时间解。 例 RC滤波电路如图所示，输入电压信号Ui(t)=5V， 电容的初始电压Uc(0)分别为0V和1V时，分别求时间 解Uc(t)。 解: 拉氏变换 线性定理 微分定理 输出的拉氏变换为 （1）Uc(0)=0v时 （2）Uc(0)=1v时