2.3.1平面向量基本定理与2.3.2平面向量正交分解及坐标表示.doc.doc

§2.3.1平面向量基本定理 §2.3.2平面向量正交分解及坐标表示 学习目标 掌握平面向量基本定理的内容. 理解基底及夹角的概念，并能运用基底表示平面内任一向量. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 学习过程 一、课前准备 复习1：向量、是共线的两个向量，则、之间的关系可以表示为 . 复习2：给定平面内任意两个向量、，请同学们作出向量、. 二、新课导学 ※ 学习探究 新知1：平面向量基本定理 问题1：复习2中，平面内的任一向量是否都可以用形如的向量表示呢？ 平面向量的基本定理:如果,是同一平面内两个 的向量，是这一平面内的任一向量，那么有且只有一对实数使 。其中，不共线的这两个向量叫做表示这一平面内所有向量的基底。 理解此定理要注意： （1) 我们把不共线向量、 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不唯一，关键是不共线； (3) 由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4) 基底给定时，分解形式唯一. λ1，λ2是被，，唯一确定的数量 新知2：两向量的夹角与垂直；平面向量正交分解及坐标表示 问题2：如果两个向量不共线，则它们的位置关系我们怎么表示呢？ 两向量的夹角与垂直: 我们规定：已知两个非零向量，作，则 叫做向量与的夹角。如果则的取值范围是 。 ⑴当时，与方向　 　　； ⑵当时，与方向　 　　； ⑶当时，与　 　，记作：　 　. 注意： （1）对于两个共线的向量，，在求夹角时一定要先把他们平移到起点相同，这两个共起点的向量所夹锐角，钝角或直角就是它们的夹角。 （2）两个向量垂直可理解为这两个向量所在的直线互相垂直，两个向量平行（共线），可理解为这两个向量的夹角为0°或180° 在不共线的两个向量中，，即两向量 垂直是一种重要的情形，把一个向量 分解为__________ ___，叫做把向量正交分解。 例如把图中木块所受的重力分解为向下的力和对 斜面的压力. 问题3：平面直角坐标系中的每一个点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示. 对于直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？ 向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个___ ___ 作为基底。对于平面内的任一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y使得____________，这样，平面内的任一向量都可由__________唯一确定， 我们把有序数对________叫做向量的坐标，记作=___________此式叫做向量的坐标表示，其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标。几个特殊向量的坐标表示 三、典型例题 例1、 如图：已知梯形ABCD中，AB‖DC，且AB=2DC,E、F分别是DC、AB的中点， 设AD = a， AB = b , 试用a ，b 为基底表示DC、BC、EF 例2、确定下列各图中向量与向量的夹角的大小： 例3 已知是坐标原点，点在第一象限，，，求向量的坐标. 例4 见教材P96 例2 ※ 当堂检测 1、设是同一平面内所有向量的一组基底，则以下各组向量中不能作为基底的是（ ） A. +和- B. 2-3和4-6 C. +2和2+ D. +和 2、已知是同一平面内两个不共线的向量，那么下列两个结论中正确的是（　　） ①+（，为实数）可以表示该平面内所有向量；　　　②若有实数，使+＝，则＝＝０。 Ａ．①　 Ｂ．②　 Ｃ．①② Ｄ．以上都不对 3.已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，则x+y的值等于( ) A.3 B.6 C.9 D.0 三、总结提升 ※ 学习小结 1. 平面向量基本定理；同一平面内任一向量都可以表示为两个 不共线 向量的线性组合。即 在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示，选择了不共线的两个向量、，平面上的任何一个向量都可以用、唯一表示为，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有、的代数运算. 2. 两向量的夹角与垂直； 3. 平面向量的坐标表示. 四、课后作业（A组必做，B组选做） A组：1. 设是平行四边形两对角线与的交点，下列向量组，其中可作为这个平行四边形所在平面表示所有向量的基底是（ ） ①与②与③与④与 A.①② B.③④