复积分的求法.doc

关于求积分的各种方法的总结 数学科学学院08级应数汉班 高盼 20081115021 指导老师 毛生荣 摘要：函数的积分问题是复变函数轮的主要内容，也是其基础部分，因此有必要总结归纳求积分的各种方法.其主要方法有：利用柯西积分定理，柯西积分公式和用留数定理求积分等方法.现将这些方法逐一介绍. 关键词：积分，解析，函数，曲线 利用定义求积分 例1、计算积分，积分路径C是连接由0到的直线段. 解：为从点0到点的直线方程，于是 . 利用柯西积分定理求积分 柯西积分定理：设在单连通区域内解析，为内任一条周线，则. 柯西积分定理的等价形式：设是一条周线，为之内部，在闭域上解析，则. 例2、求，其中为圆周， 解：圆周为，被积函数的奇点为，在的外部， 于是，在以为边界的闭圆上解析， 故由柯西积分定理的等价形式得. 如果为多连通区域，有如下定理： 设是由复周线所构成的有界多连通区域，在内解析，在上连续，则. 例3.计算积分. 分析：被积函数在上共有两个奇点和，在内作两个充分小圆周，将两个奇点挖掉，新区域的新边界就构成一个复周线，可应用上定理. 解：显然， 任作以与以为心，充分小半径的圆周及，将二奇点挖去，新边界构成复周线 . . 利用柯西积分公式求积分 设区域的边界是周线或复周线，函数在内解析，在上连续，则有 ，即. 例4.计算积分的值，其中 解：因为在上解析， ， 由柯西积分公式得. 设区域的边界是周线或复周线，函数在内解析，在上连续，则函数在区域内有各阶导数，并且有 即. 例5.计算积分，其中是绕一周的周线. 解：因为在平面上解析， 所以 . 例6. 求积分，其中为圆周. 解： 另外,若为周线内部一点，则 （，且为整数）. 应用留数定理求复积分 在复周线或周线所围的区域内，除外解析，在闭域上除外连续，则. 设为的阶极点，，其中在点解析，，则. 例7.计算积分 解：被积函数在圆周的内部只有一阶极点及， 因此，由留数定理可得 . 例8.计算积分. 解：只以为三阶极点， 由留数定理得 . 用留数定理计算实积分 某些实的定积分可应用留数定理进行计算，尤其是对原函数不易直接求得的定积分和反常积分，常是一个有效的办法，其要点是将它划归为复变函数的周线积分. 5.1计算型积分 令，则，，， 此时有. 例9. 解：令，则，， ，其中，， ， 应用留数定理得. 若为的偶函数，则之值亦可用上述方法求之，因为此时，仍然令. 例10.计算 （为实数且） 分析：因为， 直接令，则， 于是. 解： 应用留数定理，当时， 当时，. 5.2计算型积分 例11.计算. 解：函数在上半平面内只有一个四阶极点， 令 ， 则 即 故. 参考文献： [1]钟玉泉.《复变函数论》.北京：高等教育出版社，2004.1. [2]王玉玉.《复变函数理论（第三版）及全程导学及习题全解》.北京:中国时代经济出版社，2008.3. [3]钟玉泉.《复变函数学习指导书》.北京：高等教育出版社，2005.