数列求和专题训练【节选】.doc

数列求和专题训练【节选】1—2页 二、错位相减法 设数列的等比数列，数列是等差数列，则数列的前项和求解，均可用错位相减法。 例2（07高考天津理21）在数列中，，其中． （Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和； （Ⅰ）解：由，，可得， 所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故，所以数列的通项公式为． （Ⅱ）解：设，　　　① 　　　　　　　　② 当时，①式减去②式，得， ． 这时数列的前项和． 当时，．这时数列的前项和． 例3（07高考全国Ⅱ文21）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，， （Ⅰ）求，的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和． 解：（Ⅰ）设的公差为，的公比为，则依题意有且解得，． 所以， ． （Ⅱ）． ，① ，② ②－①得， ． 四、裂项求和法 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如： （1） （2） （3）等。 例5 求数列的前n项和. 解：设 （裂项） 则 （裂项求和） ＝ ＝ 例6（06高考湖北卷理17）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。（Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m； 解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x. 又因为点均在函数的图像上，所以＝3n2－2n. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5. 当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5 （） （Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝， 故Tn＝＝＝（1－）. 因此，要使（1－）（）成立的m,必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10. 7.(2009山东卷文)（本小题满分12分）等比数列{}的前n项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上. （1）求r的值； （11）当b=2时，记 求数列的前项和 解:因为对任意的,点，均在函数且均为常数)的图像上.所以得, 当时,, 当 数列求和专题训练【节选】3—4页 时,, 又因为{}为等比数列, 所以, 公比为, 所以 （2）当b=2时，, 则 相减,得 所以 【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知求的基本题型,并运用错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前项和. 10.（2010山东文数）（18）（本小题满分12分）。 已知等差数列满足：，.的前n项和为. （Ⅰ）求 及；（Ⅱ）令（）,求数列的前n项和. 12.（2010四川文数）（20）（本小题满分12分）w_w w. k#s5_u.c o*。已知等差数列的前3项和为6，前8项和为-4。 （Ⅰ）求数列的通项公式；w_w w. k#s5_u.c o*（Ⅱ）设，求数列的前n项和 13（2010山东理数）（18）（本小题满分12分）已知等差数列满足：，，的前n项和为． （Ⅰ）求及；（Ⅱ）令bn=(nN*)，求数列的前n项和． 【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为d，因为，，所以有 ，解得，所以；==。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以bn===， 所以==，即数列的前n项和=。 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。 2