2009~2010年高一数学复习讲义第21节圆的方程、直线与圆的位置关系.doc

2009~2010年高一数学备课组复习必修1~4讲义 第二十节 一、内容提示： 1. 圆的方程： 圆的标准方程： （圆心，半径为） 圆的一般方程：（其中）， 圆心为点，半径 （Ⅰ）当时，方程表示一个点，这个点的坐标为 （Ⅱ）当时，方程不表示任何图形。 2. 直线与圆的位置关系有三种 （Ⅰ）若，相离，即直线与圆没有公共点； （Ⅱ）相切，即直线与圆只有一个公共点； （Ⅲ）相交，即直线与圆有两个公共点。 3. 两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为，半径分别为，。 外离； 外切； 相交； 内切； 内含。 二、例题分析： 【例1】求经过原点，且过圆和直线的两个交点的圆的方程。 【例2】已知直线:与圆:. （1）判断直线圆的位置关系; （2）求直线被圆所截得的弦长. 三、典题精练： 1. 圆关于原点对称的圆的方程为(??? ) A. B. C. D. 2. 若为圆的弦的中点，则直线的方程是(??? ) A. ?????? B. ?????? C. ?????? D. 3. 圆上的点到直线的距离最大值是(??? ) A. B. C. D. 4. 圆在点处的切线方程为(??? ) A. B. C. D. 5. 圆心在直线上的圆与轴交于两点,则圆的方程 为____________. 6. 从点向圆（x－2）2＋y2＝4引切线，求切线方程。 7. 自发出的光线射到轴上，被轴反射，其反射光线所在直线与圆C： 相切，求光线所在直线方程。 8. 求经过直线：及圆C：的交点，且面积最小的圆的方程。 9. 已知圆和轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为，求圆的方程。 四、方法反馈： 1、在求解有关直线与圆的位置关系的问题时，要充分利用圆的几何性质，从而达到简化运算的目的： (1)当圆与直线相离时，圆心到的距离大于半径；过圆心且垂直于的直线与圆的两个交点，分别是圆上的点中到的距离的最大、最小的点。 (2)当圆与直线相切时，圆心到的距离等于半径；圆心与切点的连线垂直于；过圆外一点可作两条圆的切线，且此两切线长相等。 (3)当圆与直线相交时，圆心到的距离小于半径，过圆心且垂直于的直线平分被圆截得的弦；连结圆心与弦的中点的直线垂直于弦；过圆内一点的所有弦中，最短的弦是垂直于过这点的直径的那条弦，最长的弦是过这点的直径。 2、求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点在圆上还是在圆外，再设切线方程为点斜式，用圆心到直线的距离等于半径或利用=0求出切线的斜率，从而求得切线的方程，但要注意有时在求过圆外一点的切线方程时，其两条切线中往往有一条切线的斜率不存在，由此而产生漏解。 3、已知圆的切线的斜率求圆的切线方程，可设切线方程为斜截式，具体操作方法同上。但此种情形的圆的切线应有两条。 五、答案参考： 【例2】（1）解法一:由方程组 (Ⅰ) 消去后整理，得 , ∵, ∴方程组(Ⅰ)有两组不同的实数解,即直线与圆相交. 解法二:圆心(7,1)到直线的距离为 , 因，故直线与圆相交. （2）解法一:由方程组，得， 设直线与圆C的两交点为、， 则 ∴ ∴直线被圆所截得的弦长为。 解法二: ∵圆心(7,1)到直线的距离为, 又圆的半径=6， ∴直线被圆所截得的弦长为2 三、典题精练： 1. A 解析：关于原点得，则得，即。 2. A 解析：设圆心为，则,即。 3. B 解析：圆心为圆心到直线的距离为，。 4. D 解析：圆的圆心为，则，, 所以切线方程为：，即 。 5. 解析：圆心既在线段的垂直平分线即，又在 上，即圆心为，，所以圆的方程为。 6. 解：当切线的斜率存在时，设切线斜率为，则切线方程为 即又圆心坐标为 因为圆心到切线的距离等于半径，即 所以切线方程为 当切线的斜率不存在时，也符合条件，所以还有一条切线是。 所以，所求的切线方程为：或。 7. 解：圆C的方程为：，它关于轴对称圆的方程为：， 设光线所在的直线方程为：，则光线所在的直线必与圆相切， 故，即，解得， ∴光线所在直线方程为或 8. 解：设所求圆的方程为， 即，则所求圆的圆心为。 ∴，解得， ∴所求圆的方程为 . 9. 解：设圆心为由于圆和轴相切，半径为， 令圆心到直线的距离为，则而 或 4页第4页