2010考研数学试卷.doc

一．选择题：1~8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. 1．若在上连续，且，则 （ ）． （A）； （B）； （C）； （D）． 2．设 则 （ ）． 3．若，则 （ ）． （A）； （B）； （C）； （D）． 4．若幂级数在区间上的和函数为，则幂级数 在区间上的和函数为 （ ）． （A）； （B）； （C）； （D）． 5．若L是由及所围区域的边界，L的方向为顺时针，则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　（ ）． （A） ； （B） ； （C）； （D）． 6．元线性方程组有唯一解的充要条件是 （ ）． （A）导出组仅有零解； （B）为方阵，且； （C）的秩等于； （D）系数矩阵的列向量线性无关，且常数项向量可由的列向量组来线性表示． 7．已知，且，则下列各选项中成立的是 （ ）． （A）； （B）； （C）； （D） ． 8．设是来自正态总体的简单随机变量，是样本均值，记 ，，， ．则服从自由度为的分布的随机变量为 （ ）． ；； ； ． 二．填空题（9~14小题，每小题4分，共24分）： 9．曲线有斜渐近线，则_____________． 10．若函数，有一个满足有理函数原函数，则____，______，_______________． 11．曲面在点处的切平面方程为________． 12．设区域由曲面所围成，则 __________． 13．三阶方阵满足关系式，的三个特征值分别为，则的特征值为__________． 14．设，是两个相互独立且服从正态分布的随机变量，则随机变量的数学期望__________． 三．解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．设函数和在区间上连续，在区间内可导，且，，试证明存在使．(10分) 16．判断级数的敛散性．(10分) 17．求微分方程有极值的特解，并判断该极值是极大值还是极小值．(10分) 18．求，其中为由曲面与平面，所围立体表面的外侧．并请说明本题不能用高斯公式计算之理由．(10分) 19．求微分方程的满足的特解。(10分) 20．设，，； ，，是的两个不同的基． 求：由基到基的过渡矩阵，并求向量在基下的坐标．(11分) 21．设是对应于元二次型的实对称矩阵，的个特征值从小到大排列为，证明：在约束条件下，二次型的最小值为，最大值为．(11分) 22．设随机变量与相互独立，且都服从参数为1的指数分布，现令，．（1）求的联合密度函数；（2）与是否相互独立？为什么？ （3）与是否不相关？为什么？(11分) 23．设有台仪器，已知用第台仪器测量时，测定值总体的标准差为.用这些仪器独立地对某一物理量各观察一次，分别得到. 设仪器都没有系统误差，即，问应取何值，才能在使用估计时，无偏，并且最小？