第3章函数与无限集33.ppt

第3章 函数与无限集 函数又称映射，它是一种规范的、特殊的关系。 主要内容：概念、表示方法、主要性质以及相关运算 函数定义：设有集合X与Y，而f是从X到Y的关系， 如对每个x?X都存在唯一的y?Y，使得（x，y）?f， 则称f是从X到Y的函数，或叫从X到Y的映射。 可记为f：X?Y，或写成：X?Y，或记为y＝f（x）。 定义域与值域：函数f：X?Y 中 其定义域D（f）可用Df表示，一般Df＝X; 值域R（f）可用Cf表示，一般，Cf ?Y。 定义3.3：函数f：X?Y中如X=Y则称f为X上的函数。 例：N={0，1，2，3，…}是自然数集，则f：N?N是f（n）＝n+1，它是函数。 例：R是实数集，则f：R?R是f（x）＝x2，是函数。 例 设A={1,2,3,4},B={a,b,c,d}，试判断下列关系哪些是函数。 （1）f1={1,a,2,a,3,d,4,c}； （2）f2={1,a,2,a,2,d,3,b,4,c}； （3）f3={1,a,2,b,3,d,4,c}； （4）f4={2,b,3,d,4,c}。 函数的表示 四种方法:特性刻划法，枚举法，矩阵表示法及图示法。 1.枚举法：用序偶的集合表示函数。 例：设有X={ x1，x2，x3，x4，x5}，Y={y1，y2，y3，y4，y5}可以建立函数f：X?Y如下： f＝{(x1, y1), (x2, y2), (x3, y1), (x4, y1), (x5, y5) } 2.特性刻划法： 在函数中可用f＝{(x, y)│P(x, y)}表示。 如f：R?R中，f（x）＝x2。 3.矩阵表示法 例：函数f＝{(x1, y1), (x2, y2), (x3, y1), (x4, y1), (x5, y5) } 可用矩阵形式表示。 4.图示法 前情回顾 关系的定义 关系4种表示法 关系的3种性质 关系的运算——复合运算、逆运算、闭包运算 3.3函数的分类 设f是从X到Y的函数， 对任意x1,x2∈X，如果x1≠x2，必有f(x1)≠f(x2)，称f为从X到Y的单射； 3.3函数的分类 设f是从X到Y的函数， 如果Cf ＝Y，则称f为从X到Y的满射； 3.3函数的分类 设f是从X到Y的函数， 若f是满射且是单射，则称f为从X到Y的双射。 将函数分类的描述数学化为 （1）f:A→B是单射当且仅当对?x1,x2∈A，若x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)； （2）f:A→B是满射当且仅当对?y∈B，一定存在x∈B，使得f(x)=y； （3）f:A→B是双射当且仅当f既是单射，又是满射； （4）f:A→B是变换当且仅当f是双射且A=B。 3.4 函数运算 两种运算：复合运算、逆运算。 复合运算：设有函数f：X?Y，g：Y?Z，则f与g的复合运算gof可定义如下： h= gof={(x，z)| x?X，z?Z且至少存在一个y?Y，使得 y=f（x），z＝g（y）} h也是一个函数h：X?Z，它可记为h＝gof或g(f(x)). 例：设有函数f：X?Y，g：Y?Z分别为： X＝{x1, x2 x3},Y＝{y1, y2 },Z＝{z1, z2 }， f＝{(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y2)} g＝{( y1,z1)，(y2,z2) } 此时有：h= gof = {(x1,z1)，(x2,z2)，(x3,z2)} X＝{x1, x2 x3},Y＝{y1, y2 },Z＝{z1, z2 }， f＝{(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y2)} g＝{( y1,z1)，(y2,z2) } h=gof＝{(x1,z1)，(x2,z2)，(x3,z2)}可用矩阵表示 例：设有集合X={1，2，3}上的函数为： f：X? X f＝{(1, 3)，(2, 1)，(3, 2)} g：X? X g＝{(1, 2)，(2, 1)，(3, 3)} 试求fog, gof, fof及gog 解：下面给出四个复合函数如下： （1）fog＝ （2）gof＝ （3）fof＝ （4）gog＝ 2.函数的逆运算 每个函数不一定都有逆函数。 一个函数是否有逆函数，要看函数之逆是否也满足函数的两个附加条件。 定义：设函数f：X?Y是双射的（或称一一对应的），则由f所构成的逆运算称为函数f的