平面图形的镶嵌设计的探究.pptVIP

平面图形 的镶嵌设计 的探究 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接,彼此之间不留空隙,不重叠地辅成一片,这称做平面图形的镶嵌,又称平面图形的密辅. 平面图形镶嵌的条件:每个拼接点处,几个多边形的各内角之和为360°,且将相等的边重合 探究一:任意三角形、四边形的镶嵌. 1.任意一个三角形的三个不同的内角拼在同一顶点处构成平角,在三角形镶嵌的图案中,每个拼接点处有6个角,可以组成两个三角形的内角和,将相等的边拼接重合. 三角形的密铺（请点击） ２．任意一个四边形的四个不同的 内角之和拼在同一顶点处构成周 角，在四边形镶嵌的图案中，每个 拼接点处有４个角，恰好是一个四 个内角，将相等的边拼接重合. 四边形的密铺(请点击) 探究二：用同一种正多边形的镶嵌. 问题1. (1)从正三角形,正方形,正五边形,正六边形中选一种镶嵌平面,哪几种正多边形能镶嵌平面?并说明了理由.分别画出它们镶嵌平面的几何图形. (2)你还能找出其它一种不同的正多边形镶嵌平面吗? 并说明了理由. 解(1)正三角形,正方形,正六边形能镶嵌平面,正五边形不能镶嵌平面.镶嵌的平面图形(如下图). 理由: 正三角形,正方形,正六边形的内角分别是60°、90°、120°,都能被360°整除,正五边形的内角108°,不能被360°整除. (2)不能.理由:其它正多边形的内角都不能被360°整除. 结论: (1)用同一种正多边形 镶嵌的条件：正n边形的内角能被360°整除， 即 整数时, 可以镶嵌,否则不能. (2)只有正三角形、正方形、正六边形可以镶嵌平面,其它的正多边形不能镶嵌平面 正六边形的密铺(请点击) 正五边形的密铺(请点击) 探究三:用边长相等的两种或三种不同的正多边形的镶嵌. 问题2: (1)从边长相等的正三角形、正方形、正六边形中选两种镶嵌平面,探索这两种不同的正多边形组合起来能镶嵌成几种不同的平面图形?说明你的理由,并画出对应的平面镶嵌图形. (2) 从边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形中选一种,再从其它正多边形中选一种,探索哪两种不同的正多边形组合起来能镶嵌平面,请写出一种. 解:(1)分二种情况讨论: 用正三角形与正方形的组合镶嵌平面. 设在一个顶点周围有m个正三角形的角和n个正方形的角,则有 60m + 90n =360 , 即 2m + 3n =12,这个方程的整数解只有:m =3, n =2. 因此一个顶点周围有3个正三角形的角和2个正方形的角,符合条件的图形有两种.(如下图) 用正三角形和正六边形的组合镶嵌平面. 同理可得：一个顶点周围有4个正三角形的角和1个正六边形的角,或者一个顶点周围有2个正三角形的角和2个正六边形的角. 符合条件的图形有两种(如下图) 问题3.(1)若平面镶嵌图形的某个顶点处有三个不同的正多边形的角,已知两个角分别是正三角形的角和正十边形的角,那么第三个角所在的正多边形边数是多少?并说明理由.(2)你能设计其它用三种不同的边长相等的正多边形组合起来镶嵌平面的图形吗?并画出对应的平面镶嵌图形. 解:(1) 15. 理由:设第三角所在的正多边形边数为n. 正十边形的内角为144°, 则 解得:n=15. (2)正六边形、正方形和正三角形的组合或者正十二边形、正六边形和正方形的组合等.(如下图) 结论:镶嵌平面的几个正多边形的边长相等,拼接点处的几个正多边形的内角之和是360°,拼接后各正多边形的顶点及边都是公共顶点与公共边. 探究四:利用正三角形,正方形等构造“基本单位”图案镶嵌平面. 1.利用正三角形中心与三个顶点的连线构造“基本单位”图案,通过对称拼接镶嵌平面,如下图. 2. 利用正方形构造“基本单位”图案,通过4次旋转90°拼接成大的“基本单位”图案,再通过平移拼接镶嵌平面.(如下图) 探究五:利用一些不同几何图形的组合镶嵌平面. (1)丢勒的镶嵌图案.艺术家阿尔布雷希特·丢勒利用正五边形和菱形创作的镶嵌图案设计,它远溯至15世纪. (2) 根据菱形的对角互补,在每个拼接点处有两个正方形和两个菱形(如下图). 探究六:用不规则的“基本单位”图案镶嵌平面. 构造不规则的“基本单位”图案,通过平移、旋转、对称等拼接镶嵌平面,形成美丽的图案,如下图. 荷兰画家M.C.埃舍尔给予他所镶嵌的