2.1导数的概念和运算高等数学.ppt

两个问题的共性: 一、导数的定义 推广：此法则可推广到多个中间变量的情形。 * * 思考与探索： 假设你准备用10万元进行投资，现有A、B两个投资项目，经过市场分析，获悉其预期收益是固定的：项目A在2个月内的收益为0.6万元，项目B在3个月内的收益为0.8万元，问： 你会选择哪个项目投资？ 汽车行驶的瞬时速度呢? 例如：小王驱车到80km外的一个小镇，共用了2个 案例一[汽车的瞬时速度] 若物体作匀速直线运动，则其速度为常量 单位时间通过的路程 小时， (km/h)为汽车行驶的平均 速度，然而车速器显示的速度（瞬时速度）却在 不停地变化，因为汽车作的是变速运动，如何计算 设S是某一物体从某一选定时刻到时刻t 所走过的 下面将讨论物体在任一时刻t0 的瞬时速度。 路程， 则S是t 的一个函数（路程是时间的函数） 一般地： 记 则 到 的平均速度为： 起点 末点 若 ， 和 有什么关系？ 不难发现： 若 ， 有 即： 割线 MN 的极限位置 MT。 曲线 f(x) 割线 M N 的斜率： 则切线 MT 的斜率 案例二[曲线的切线斜率] 绕点M转动， 思考： 割线的斜率和切线的斜率有何关系？ 结论： 即： 瞬时速度： 切线斜率： 思考： 两个极限式子的共同特征是什么？ 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 。 定义1 . 设函数 在点 存在, 并称此极限值为 记作： 即 则称函数 若 的某邻域内有定义 , 在点 处可导, 在点 的导数。 注： ⑴ ⑵ 若没有要求求出具体哪点的导数值，则求导之后仍是一个函数，此时称为导函数。 记为： 先求导再代值！ 瞬时速度： 切线斜率： 路程的导数 曲线的导数 二、导数的计算方法: ⑴ 利用导数定义求导数； （因为要算极限，太麻烦，故通常不用） ⑵ 导数的求导公式。 P49 （简单，公式易记） 初等函数的求导法则 （3）和、差、积、商的求导法则 定理 1 若函数 在点 处可导, 则它们 的和、差、积、商(分母不为零) 并且 (1) (2) (3) 在点 处也可导, 例1 求 解： （4）复合函数的求导法则（重要） 设 而 则 的导数 为 或 链式法则 例2 设 求 解：设 根据链式法则， 则 例 3 求函数 的导数. 解 设 则 例如： 关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导。 *