2010.10.10基本初等函数讲义.doc

基本初等函数 指数函数 指数函数中蕴含着丰富的数学思想方法，解题时若能充分运用这些数学思想方法，可使许多问题获得简洁巧妙的解决． 一、数形结合思想 例1　若函数（，且）的图 象经过第二、三、四象限，则一定有（　　）． （A）0＜a＜1且b＞0 （B）a＞1且b＞0 （C）0＜a＜1且b＜0 （D）a＞1且b＜0 解析：因为函数的图象经过第二、三、四象限，结合指数函数的图象特征可知，函数为减函数，即0＜a＜1，所以函数图象如图所示．又因为图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，即，∴b＜0．故选（C）． 点评：熟悉函数的图象特征是数形结合的基础．二、分类与整合思想 例2　设，，其中a＞0，a≠1．确定x为何值时，有（1）； （2）． 解：（１）∵，∴， ∴，∴． （２）∵，∴． 当a＞1时，，解得． 当0＜a＜1时，，解得． 点评：求解指数函数、对数函数问题时，要养成关注底数的好习惯，若底数含有字母，就需要分情况进行讨论． 三、转化思想 例3　若正整数m满足，求m的值．（lg2≈0.301） 解：将指数转化为对数，由，得，即． 由，得． 所以原不等式可转化为． 将代入，得． 故正整数m＝155． 点评：有关指数、对数大小比较问题，常常需将问题转化，有时根据问题的需要将指数式转化为对数式，有时需将对数式转化为指数式，这正是数学中转化思想的具体体现．转化思想是中学重要的数学思想，要注意学习、体会，逐步达到灵活运用的目的． 四、整体思想 例4　函数（a＞0，a≠1）在［0，1］上的最大值与最小值的和为3，则实数a的值为 （　B　）． （A）　　（B）2　　（C）　　（D）4 练习： 1．方程的解所在区间为（B ）． （A）（0，1） （B）（１，3） （C）（3，4） （D）（4，＋∞） 2．若函数（a＞0，且a≠1）在［0，1］上的最大值与最小值之和为a，则a的值为（　B　）． （Ａ）　　（Ｂ）　　（Ｃ）2　　（Ｄ）4 3．设且，若，，试比较P，Q的大小． 提示：1．在同一坐标系中分别画出与的图象，数形结合求解． 2．用整体思想求解． 3．解：①当时，由在（－∞，+∞）上递减知，即， 又当时，在（0，+∞）上递减， ∴，即P＞Q． ②同理，当a1时，有，即，∴，即PQ． 综上可得PQ． 解题误区 一、混淆指数幂与指数函数概念 例1 若，且，求的取值范围。 错解 ∵，且，∴由指数函数的单调性得。 辨析在有意义的情况下，指数的底数可以取全体实数，错解中用指数函数的底数大于零且不等于1限制指数的底数，显然是错误的． 正解 当时，，， ∴成立； 当时，； 当时，成立。 ∴的取值范围是或。 二、忽略指数函数底数的范围 例2 求函数的单调递增区间。 错解：令 设任意 则 即 故 在上为增函数。 辨析：对于指数函数单调性的讨论，必须分底数大于1和底数大于0且小于1，两种情况来讨论。 正解：令 当 时，对任意 则 得 即 ． 又易知 在上为增函数 同理，当时，同理函数在上是增函数。 三、忽略新元的取值范围 例3　求函数的值域． 错解：令，则， 故该函数的值域为［1，＋∞）． 辨析：换元后未挖掘新元t的取值范围导致错解，同时也未根据a来分类讨论． 正解：令，t∈（0，＋∞）， 则（t＞0）， 结合二次函数的性质可知： 当a≥0时，值域为（，＋∞）； 当a＜0时，值域为［1，＋∞） 对数函数 复习：(1)、对数的概念，(2)、对数的性质，(3)、对数恒等式 推导对数运算法则： 一、选择题： 1．对数式中，实数a的取值范围是 （ ） A． B．(2,5) C． D． 2．如果lgx=lga+3lgb－5lgc，那么 （ ） A．x=a+3b－c B． C． D．x=a+b3－c3 3．设函数y=lg(x2－5x)的定义域为M，函数y=lg(x－5)+lgx的定义域为N，则 （） A．M∪N=R B．M=N C．MN D．MN ．若函数log2(kx2+4kx+3)的定义域为R，则k的取值范围是 （ ） A． B． C． D．．，log2f(x)=2x，xR，g(x) （ ） A． B． C． D． 6．北京市为成功举办2008年奥运会，决定从2003年到2007年五年间更新市内现有的全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2003年底更新现有总车辆数的(参考数据：1．14=1．46，1．15=1．61) ( ) A．10% B．16．4% C．16．8% D．20% 7．y=log2a－1x在(0，+∞)内是减函数，则a的取值范围是 （