第5章_线性代数.ppt

*/16 ?小行星轨道计算 ? 数值矩阵运算 ? 特征值问题及应用 ? 符号矩阵运算 第5章 线性代数 例1.小行星轨道问题 观察一颗绕太阳运行的小行星,测得坐标数据 x 4.5596 5.0816 5.5546 5.9636 6.2756 y 0.8145 1.3685 1.9895 2.6925 3.5265 a1xj2 + 2a2xjyj + a3 yj2 +2a4 xj + 2a5 yj + 1 = 0 轨道方程 ( j = 1, 2, 3, 4, 5 ) a1 = ? a2 = ? a3 = ? a4 = ? a5 = ? %----解方程组确定行星轨道 X=[4.5596;5.0816;5.5546;5.9636;6.2756]; Y=[0.8145;1.3685;1.9895;2.6925;3.5265]; A=[X.*X,2*X.*Y,Y.*Y,2*X,2*Y]; b=[-1;-1;-1;-1;-1]; z=A\b; a1=z(1);a2=z(2);a3=z(3);a4=z(4);a5=z(5); syms x y F=a1*x^2+2*a2*x*y+a3*y^2+2*a4*x+2*a5*y+1; ezplot(F,[-1,6.5,-1.5,6]) hold on,plot(X,Y,ro) 程序文件 mlab41.m 1. 矩阵运算一 (1) +，－，*，/，\，^ (2) .*，./，.\，.^ 注意：这四类运算表示对矩阵元素作对应运算。例如： A=[1,2;3,4]，则： 注意： 2、矩阵运算二 (2)矩阵的逆：inv(A) (3)矩阵的初等行变换：rref(A) (4)矩阵的秩：rank(A) 3、矩阵的转置、翻转与重塑 (1)矩阵转置: B = A’ (2)矩阵翻转: fliplr(A) —左右翻转 flipud(A) —上下翻转 (3)矩阵重塑：reshape(A,m,n) P1(x1, y1) P2(x2, y2) P3(x3, y3) S (1)矩阵的行列式：det(A) eig(A)只返回特征值 [P,D]=eig(A)：P保存特征向量，D保存特征值 例2. 简单迁移模型:每年A镇的人口10%迁往B镇; B镇的人口15%迁往A镇. 模型如下 0.8321 -0.7071 0.5547 0.7071 P = 1.0000 0 0 0.7500 D = A=[0.9,0.15;0.1,0.85]; [P,D]=eig(A) 4、矩阵的特征值和特征向量 (1) 如何求出 n 年以后的人口分布？ (2) 当 n 趋于无穷大时, 人口分布如何？ (3) 与特征值问题有无联系? 根据数学模型研究问题: 0.6000 0.6000 0.4000 0.4000 A40 = A=[0.9,0.15;0.1,0.85]; [P,D]=eig(A); alpha=P(:,1); q1=alpha(1)/sum(alpha) q2=alpha(2)/sum(alpha) q1 = 0.6000 q2 = 0.4000 例3. 对称正定矩阵线性变换实验 t=0:0.1:6.3;x=cos(t);y=sin(t); A=[0.9,0.1;0.1,0.9]; z=A*[x;y];u=z(1,:);v=z(2,:); plot(x,y),axis equal figure,plot(u,v) Dmax=max(sqrt(u.^2+v.^2)) Dmin=min(sqrt(u.^2+v.^2)) D=eig(A) Dmax = 1.0000 Dmin = 0.8000 D = 0.8000 1.0000 思考题:如果A是非对称矩阵是否仍有类似结果? 程序文件 mlab43.m 四、符号矩阵运算 1、符号矩阵的四则运算 符号矩阵的四则运算与幂运算可直接用：+、－、*、.*、/、./、\、.\、^、.^实现。 B=sym([a,b;c,d]); C=sym([x,y;z,w]); B*C ans = [ a*x+b*z, a*y+b*w] [ c*x+d*z, c*y+d*w] 2、符号矩阵的其他运算 (1)转置运算：transpose B=sym([a,b;c,d]); B [ conj(a), conj(c)] [ conj(b), conj(d)] transpose(B) [ a, c] [ b, d] (2)行列式运算：det(A) (3)求逆运算：inv(A)