常微分方程与中学数学的联系数学本科.doc

目 录 摘 要 1 ABSTRACT 2 第1章 常微分方程简介 3 1.1常微分方程的发展 3 1.2中学数学教师的业务学习（高等数学）现状 3 第2章 中学数学方程对常微分方程的基础作用 4 2.1曲线切线意义与常微分方程几何解法 4 2.2三角函数关系与常微分方程换元解法 5 第3章 常微分方程在中学数学中的指导作用 6 3.1物体冷却问题 6 3.2水池注水问题 6 3.3用微分方程证明三角公式 7 3.4求解初等函数方程 8 3.5 Clairaut方程与曲线方程切线问题 8 3.6 Lagrange常系数变易法与变元求异思维 9 3.7用常微分方程确定初等函数的本质特征 11 3.7.1幂函数 11 3.7.2指数函数 12 3.7.3对数函数 13 3.7.4正切函数 14 参考文献 16 致 谢 17 摘 要 本篇文章论述了常微分方程的发展历程及其与初等数学的相互作用，主要介绍了常微分方程与中学数学的若干联系，如曲线切线意义与常微分方程几何解法；三角函数关系与常微分方程换元解法；物体冷却、水池注水问题；用微分方程证明三角公式；Clairaut方程与曲线方程切线问题；用常微分方程确定初等函数的本质特征等问题。其中的一些方法技巧对于提高中学数学教师教学能力有一定的指导作用。 关 键 词：微分方程；中学数学；代数方程；三角函数；初等函数 ABSTRACT This article discusses the development of ordinary differential equation and the interaction of elementary mathematics. Several links between ordinary differential equation and middle school mathematics are mainly introduced, such as the curve tangent meaning and geometric method of ordinary differential equation, the trigonometric function and substitution method of ordinary differential equation solution; cooling objects, pool water problems; prove trigonometric formulas by differential equation, Clairaut equation and equation of a curve tangent problem, determine the elementary function nature problem for ordinary differential equations. Some of these methods and techniques for the improve of middle school mathematics teacher’s teaching ability has certain guiding role. Key words：Differential equation； Middle school mathematics； Algebraic equation； Trigonometric function； Elementary function 第1章 常微分方程简介 1.1常微分方程的发展 我国常微分方程领域的著名数学家秦元勋说：“常微分方程，是一个有长期历史，而又不断在发展的学科；是一个既有理论研究意义，又有实际应用价值的学科；是一个即得力于其他数学分支的支持，又为其他数学分支服务的学科；是一个表现客观自然规律的工具学科，又是一个数学可以为实际服务的学科。”可见常微分方程之重要。众所周知的是，常微分方程是微积分的扩展以及在其广泛应用刺激和推动下产生的新分支之一。 常微分方程理论的形成历程充满了曲折与艰辛。从1675年莱布尼茨(Leibniz G.W.,1646～1716)写下数学史上第一个方程,标志着常微分方程领域研究的开始[1]。此后的数学家们纷纷投入了研究这一方程的提出。300多年来，常微分方程诞生于数学与自然科学相结合的16、17世纪，成长于生产实践和数学的发展进程中，表现出强大的生命力和活力，应用于各学科知识中[2]。 联系自变量、未知函数及其导数的关系式称为微分方程；常微分方程是只含有一个自变量的微分方程。自变量