柯西施瓦兹不等式探讨数学.doc

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柯西施瓦兹不等式探讨数学

柯西——施瓦兹不等式探讨 摘要:柯西—施瓦兹不等式是一个非常重要的不等式,灵活巧妙的应用它,可以使一些较为困难的问题迎刃而解。本文在证明不等式,解三角形相关问题,应用方面给出几个例子。近年来,许多学者在不同条件下提出柯西—施瓦兹不等式多种表现形式,并且对其性质及应用做了广泛而深入的研究,本文在已有的文献基础上,总结出了柯西—施瓦兹不等式4种表现形式及其在数学中的应用。本文的结论是对柯西—施瓦兹不等式理论的进一步深化,也是对现有文献中相应结论进行改善。 关键词:柯西—施瓦兹不等式 证明 应用 引言:柯西—施瓦兹不等式是一个非常重要的不等式,在证明不等式、解三角形相关问题 、数学分析中都有重要应用,本文在已有的文献基础上,总结了柯西—施瓦兹不等式4种表现形式,并且给出其一些应用性的例子。 柯西(Cauchy)不等式在代数学中的表现形式 等号当且仅当或时成立(k为常数,)现将它的证明介绍如下: 证明1:(判别式法) , 关于小的二次三项式保持非负,故判别式 ,当且仅当 即时等号成立 证明2数学归纳法 (1)当时 左式= 右式= 显然 左式=右式 当 时, 右式 右式 仅当即 即时等号成立 故时 不等式成立 (2)假设时,不等式成立 即 当 ,k为常数, 或时等号成立 设 则 当 ,k为常数, 或时等号成立 即 时不等式成立 综合(1)(2)可知不等式成立; 证明3(配方法)因 故柯西不等式获证。等号当且仅当成立。 柯西不等式在几何中表现形式 柯西不等式的代数形式十分简单,但却非常重要。数学当中没有巧遇,凡是重要的结果都应该有一个解释,一旦掌握了它,就使这个结果变得不言而喻了。而一个代数结果最简单的解释,通常驻要借助于几何背景。现在就对柯西不等式的二维、三维情况做出几何解释。 (1)二维形式 如图, 可知线段,及的长度分别由下面的式子给出: 表示与的夹角。由余弦定理,我们有 将,,的值代入,化简得到 而,故有 于是   这就是柯西不等式的二维形式。 我们可以看到当且仅当,即当且仅当是零或平角,亦即当且仅当在同一条直线上是时等号成立。在这种情形,斜率之间必定存在一个等式;换句话说,除非,我们们总有. (2)三维形式    对于三维情形,设是不同于原点的两个点,则与之间的夹角的余弦有      又由,得到柯西不等式的三维形式:      当且仅当三点共线时,等号成立;此时只要这里的都不是零,就有 柯西不等式的推广 前面的柯西不等式都是限制在实数范围内的,在复数范围内同样也有柯西不等式成立。 定理:若和是两个复数序列,则有       , 当且仅当数列和成比例时等式成立。 证明:设是复数,有恒等式 若(其中),则有 由此推出了复数形式的柯西不等式。 除此之外,我们还可以知道一些与柯西不等式相关的结论。 定理1:若和是实数列,且,则 当时,这个不等式即为柯西不等式。   定理2:若和是正数序列,且或,则   这个不等式实际上是Holder不等式的推论。 对于柯西不等式,除了这种数列形式之外,还存在积分形式的柯西不等式即施瓦兹不等式。 柯西不等式在分析中的表现形式即施瓦兹不等式 定理:设和是在上的实可积函数,则        当且仅当和是线性相关函数时等式成立。 证明1:对任意实数, 有  即  即 证明2:将n等分,令,应用柯西不等式, 令取极限,即证得。 证明3: 这就证明了施瓦兹不等式。由此可看出,如果连续,等号当且仅当存在(不全为零)使得时成立。 柯西不等式形式在概率中表现形式 定理:对任意随机变量和都有 .等式成立当且仅当.这里是一个常数。 证明:对任意实数,定义; 显然对一切,,因此二次方程或者没有实数根或者有一个重根,所以,. 此外,方程有一个重根存在的充要条件是.这时.因此,. 有了这个结论,对于解决一些复杂的概率题时会有所帮助。 证明不等式 例1已知正数满足 证明 证明:利用柯西不等式 又因为 在此不等式两边同乘以2,再加上得: 故 解三角形的相关问题 例2 设是内的一点,是到三边的距离,是外接圆的半径,证明 证明:由柯西不等式得, 记为的面积,则 故不等式成立。 3)用柯西不等式解释样本线性相关系数 在《概率论与数理统计》〉一书中,在线性回归中,有样本相关系数,并指出且越接近于1,相关程度越大,越接近于0,则相关程度越小。现在可用柯西不等式解释样本线性相关系数。 现记,,则, ,由柯西不等式有, 当时, 此时,,为常数。点 均在直线 上, 当时, 即 而 为常数。 此时,此时,,为常数 点均在直线附近,所以越接近于1,相关程度越大 当时,不具备上

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