7.3.1 两直线的.ppt

7.3.1 两直线的平行 一、引入 前面我们学习了“直线的方程”，已经知道了直线方程有 点斜式、斜截式、两点式、截距式，它们都可以化为一般式。我们为什么要建立直线方程呢？ 目的是为了能利用直线方程来研究有关直线的问题，如两直线的位置关系（如平行、垂直、两直线的夹角等），等等。 二、尝试、发现与应用 1、尝试、发现： 分别写出下列两组直线的斜率、在y轴上的截距，并画出图形： (1) y=2x+1与y=2x-3; (2) x+3y-6=0与2x+6y+1=0. 解: (1)k1=2,b1=1, k2=2,b2=-3. 其图形如右图所示。 [结论]每一组直线互相平行; 两方程的斜率相等,在y轴上的截距不相等. [一般化]上述结论具有一般意义吗？ 由此能得出的一般结论是什么？给出证明。 [讨论]上述结论是在两直线的斜率都存在的前提下得出的，如果两直线的斜率中有一个不存在时，要使两直线l1∥l2，应有怎样的结论？ [结论]当l1、l2的斜率有一不存在时，l1∥l2的充要条件是k1、k2都不存在，且b1≠b2. 其实这时两直线的方程分别为x=x1、x=x2， 显然它们平行的充要条件是x1≠x2. [讨论推广]由上面的例子还可看出，若已知两条直线的一般式方程，也可判断两条直线是否平行，由此你能得出一个一般的结论吗？即直线A1x+B1y+C1=0与直线A2x+B2y+C2=0平行的充要条件是什么？ * * x y o -1/2 1 y=2x+1 3/2 -3 y=2x-3 x y o （2） k1=-1/3,b1=2, k2=-1/3,b2=-1/6. 其图形如右图所示。 -1/2 -1/6 2x+6y+1=0 从图形可以看出， l1‖l2（理由？）. 从图形可以看出， l1‖l2（理由？）. 2 x+3y-6=0 6 观察两组图形，联系方程，能发现什么规律吗？ x y o -1/2 -1/6 2x+6y+1=0 2 x+3y-6=0 6 x y o -1/2 1 y=2x+1 3/2 -3 y=2x-3 当直线l1、l2有斜截式方程 l1:y=k1x+b1 l2:y=k2x+b2 时，直线l1∥l2的充要条件是k1=k2且b1≠b2. [一般结论] 证明如下 ： 证明：若l1∥l2（如图）， O x y 1 2 l1 l2 则b1≠b2，但两直线的倾 斜角相等，即 反之，若b1≠b2，则l1和l2不重合。又如果k1=k2，也就是 1= 2 ，tan 1=tan 2， 即k1=k2。 2 由于0°≤ ＜180°， 0°≤ ＜180°，可知 = ，∴ l1∥l2。 1 2 1 例1、已知直线 l1:2x-4y+7=0, l2:x-2y+5=0, 证明：l1∥l2. 证明：∵k1= k2=1/2, b1=7/4, b2=5/2, ∴ l1∥l2. [练习]1、判断下列两直线是否平行： （1）y=3x+4与2y-6x+1=0; (平行） ( 2 ) y=x与3x+3y-10=0. (不平行） 2、直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行， 那么实数a= . -6 [讨论]从上述练习3中，能发现什么有意思的东西吗？ [发现]两直线的方程前两项相同，只有常数项不同。。 [讨论]这个发现有什么意义吗？对直线Ax+By+C=0（A、B不全为零）,与它平行的直线是否也有同样的结论？ [结论]与直线Ax+By+C=0平行的直线的方程可写为Ax+By+C′=0,其中,C′的值可由其它条件求出. 3、过点A（1，-4）且与2x+3y+5=0平行 的 直线的方程为_____________ . 2x+3y+10=0 证明：若B≠0，则直线l：Ax+By+C=0斜率 k=－A/B，与它平行的直线l′的斜率为 k′=k=－A/B，故l′方程为 当B=0时，不难证明结论亦成立。 [尝试]用上述结论重解练习2. 练习2、过点A（1，-4）且与2x+3y+5=0平行的 直线的方程为_____________ . 解：设所求直线为2x+3y+C=0， 由于它过点A（1，-4）， 代入解得：C=10， 所以所求直线为： 2x+3y+10=0。 [