概率统计3-3.ppt

定义1 四、连续型随机变量的独立性 作业 的分段区域 y = x 1 0 x y D 当0? x 1, 0? y x 时， 1 (3) 当x0 或 y0 时,F(x,y) = 0 当0? x1, x? y1时， v=u 1 0 u v 当0 ? x 1, y ? 1时， v=u 1 0 u v 1 当x ? 1, 0 ? y 1时， v=u 1 0 u v 1 当 x ? 1, y ? 1 时， F (x,y) = 0, x 0 或 y 0 y4 , 0 ? x 1, 0 ? y x ， 2x2y2–y4, 0 ? x 1, x ? y 1， 2x2–x4 , 0 ? x 1, y ? 1， y4 , x ? 1, 0 ? y 1， 1, x ? 1, y ? 1， (4) = 0, x 0， 2x2–x4 , 0 ? x 1, 1, x ? 1 0, y 0 y4 , 0 ? y 1, 1 , y ? 1 = 也可直接由联合密度函数求边缘密度函数，再积分求边缘分布函数. 例如 y=x 1 0 x y 1 则X,Y分别具有： X~N(μ1,σ12), Y~ N(μ2,σ22) 即 二维正态分布(X,Y)的边缘分布是 一维正态分布，反之未必成立． 见例7　 二维正态分布(X,Y)的特征， 对这个现象的解释是:边缘概率密度只考虑了单个分量的情况,而未涉及X与Y之间的关系. 例7 设二维随机向量(X,Y)的联合概率密度为 求(X,Y)关于X,Y的边缘概率密度. 解 即 同理可得 X,Y的边缘概率密度为一维正态分布. 所以,边缘概率密度为一维正态分布的二维随机向量不一定是二维正态分布. 练习　设随机向量(X,Y)服从区域D上的均匀分布, 其中 D={(x,y),x2+y2≤1},求X,Y的边缘密度函数f1(x)和f2(y). 解 (1)由题意得: X Y -1 1 当|x|1时,f(x,y)=0,所以,f1(x)=0 当|x|≤1时, 所以, 同理, 圆形区域均匀分布的边缘分布不再是一维均匀分布 这里“几乎处处成立”的含义是：在平面上除去面积为0的集合外，处处成立. 定理 命题 若(X, Y)的 f(x,y)处处连续，则X和Y相互独立的充分必要条件是 f (x,y) = fX(x)· fY (y) 设(X,Y)在矩形 D = {(x,y)|axb,cyd} 上服从均匀分布，则随机变量X,Y相互独立. 解 例8 X的边缘密度为 同理,Y的边缘密度为 方形区域上均匀分布的边缘分布仍是一维均匀分布 练习 设(X,Y)在圆域D={(x, y)| x2+y2?r 2}上服从均匀分布. (1) 判断X与Y是否相互独立. 解 x2+y2=r 2 x2+y2=r 2 x2+y2=r 2 x2+y2=r 2 x2+y2=r 2 (2) 第三章 随机向量及其独立性 §3.3 连续型随机向量及其联合密度 有 一、联合概率密度 连续型 一维随机变量X X的概率密度函数 定义2 对于二维随机变量 的分布函数 则称 是连续型的二维随 机变量 , 函数 称为二维 （X,Y )的概率密度 , 随机变量 存在非负的函数 如果 任意 有 使对于 称为随机变量 X 和 Y 的联合概 率密度. 或 （X,Y）的概率密度的性质 : 表示 f (x, y)和 平面上区域 所围成的柱体的体积. 随机点 落在矩形域 内的概率为 P( X = a ,- ? Y + ? ) = 0 P(- ? X + ?, Y= a ) = 0 推论 ：P( X = a ,Y = b ) = 0 例1 设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为 (1)求常数k；(2)求概率P(X+Y≤1)。 解 (1) 解得k=15 O 1 x 1 y y=x x+y=1 (2) 练习1 设二维随机变(X,Y)量具有概率密度 (1)确定常数C；(2)求概率P(XY )。 O x y=x2 y=x y 解 (1) (2)确定积分区域 例 2 (1)