概率与数理统计第二章课件.pptx

第一章 行列式一. 二（三）阶行列式 行列式概念的形成（定义）二. n 阶行列式三.行列式的性质 行列式的基本性质及计算方法四.行列式按一行（列）展开五. Cramer 克莱姆法则 利用行列式求解线性方程组一.二阶与三阶行列式1. 二阶行列式二元线性方程组：由消元法，得得同理，得于是，当时，方程组有唯一解 为行标，表明元素位于第 行 为列标，表明元素位于第 列为便于记忆，引进记号为二阶行列式称记号称为元素其中 ，数(1) 二阶行列式 算出来是一个数。注：(2) 记忆方法：对角线法则主对角线上两元素之积 － 副对角线上两元素之积因此，上述二元线性方程组的解可表示为综上，令则，称 D 为方程组的系数行列式。解方程组例1：解：因为所以2. 三阶行列式类似地，为讨论三元线性方程组引进记号称之为三阶行列式其中 ，数称为元素 为行标， 为列标。注：(1) 三阶行列式 算出来也是一个数。(2) 记忆方法：对角线法则例：对于三元线性方程组，若其系数行列式可以验证，方程组有唯一解，其中，二.排列与逆序定义1：由自然数1，2，······，n 组成的一个有序数组称为一个n 元排列。例如：1，2，3，4，5都是数1，2，3，4，5的一个排列。5，1，2，3，45，3，2，1，4 考虑：n个数的不同排列有 个。n !自然排列：按数的大小次序，由小到大排列。考虑：n元排列中，自然排列只有一种除此之外，任一n元排列都一定出现较大数码排在较小数码之前的情况。定义2：在一个排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，就称这两个数构成一个逆序。一个排列中出现的逆序的总数称为这个排列的逆序数奇排列：逆序数为奇数的排列。偶排列：逆序数为偶数的排列。计算排列的逆序数的方法：法1：n个数的任一n元排列，先看数1，看有多少个比1大的数排在1前面，记为再看有多少个比2大的数排在2前面，记为继续下去，最后至数n，前面比n大的数显然没有，则此排列的逆序数为法2：n 元排列的逆序数法3：例1：求排列 3，2，5，1，4 的逆序数。解：（法1）（法2）（法3）例2：求排列 4，5，3，1，6，2 的逆序数。课堂练习：p38 7加（7） 1，3，···，2n－1，2，4，···，2n（8） 1，3，···，2n－1，2n，2n－2，···，4，2考虑，在 1，2，3 的全排列中有 个偶排列：3123，231，312有 个奇排列：3132，213，321一般说来，在n个数码的全排列中，奇偶排列各占一半定义3：把一个排列中的任意两个数交换位置，其余数码不动，叫做对该排列作一次对换，简称对换。将相邻的两个数对换，称为相邻对换。定理1：对换改变排列的奇偶性。（书p5定理1.1）证明思路：先证相邻变换，再证一般对换。定理2：时，n个数的所有排列中，奇偶排列各占一半，各为个。（书p2定理1.2）证明：设n个数的排列中，奇排列有 p 个，偶排列有 q 个，则p＋q＝n！对 p 个奇排列，施行同一对换，则由定理1得到 p 个偶排列。（而且是p个不同的偶排列）因为总共有 q 个偶排列，所以同理所以三. n阶行列式的定义观察三阶行列式寻找规律：1. 三阶行列式是3！ 项的代数和。2. 每一项都是 元素的乘积。取自不同行、不同列的 3 个其任一项可写成：其中是123的一个排列3.（每项的符号规律）取正号是偶排列时，项当取负号是奇排列时，项当二阶行列式有类似规律。根据二、三阶行列式的构造规律，我们来定义n阶行列式定义1：n 阶行列式指的是n！项的代数和，其中每一项都是取自不同行、不同列的 n 个元素的乘积，其一般项为这里是12···n的一个排列当是偶排列时，项前面带正号当是奇排列时，项前面带负号即表示对所有n元排列取和其中注：(1) 当n=1时，一阶行列式不是a的绝对值，此处例如行列式定义表明，计算n阶行列式，首先必须作出所有的可能的位于不同行、不同列的n个元素的乘积，把这些乘积的元素的第一个下标（行标）按自然顺序排列，然后看第二个下标（列标）所成的奇偶性来决定这一项的符号。的项。写出四阶行列式中含有因子例1：例2：若为四阶行列式的项，试确定i与k，使前两项带正号，后一项带负号。例3：计算行列式例4：计算四阶行列式四个结论：(1)上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为0）(2)下三角形行列式 （主对角线上侧元素都为0）(3)（显然）(4)符号定理：令是n阶行列式中的任一项，则项的符号等于证明：由行列式定义可知，确定项的符号，需要把各