函数的对称性及周期性(讲案).doc

函数的对称性及周期性 1.函数的图象的对称性（自身）: 定理1: 函数的图象关于直对称 特殊的有： ①函数的图象关于直线对称。 ②函数的图象关于轴对称（偶函数）。 ③函数是偶函数关于对称。 定理2：函数的图象关于点对称 特殊的有： 函数的图象关于点对称。 函数的图象关于原点对称（奇函数）。 函数是奇函数关于点 对称。 定理3：（性质） 结论1：如果定义在上的函数有两条对称轴、对称，那么是周期函数，其中一个周期 结论2：如果偶函数的图像关于直线（）对称，那么是周期函数，其中一个周期 结论3：如果奇函数的图像关于直线（）对称，那么是周期函数，其中一个周期 结论4：如果函数同时关于两点、（）成中心对称，那么是周期函数，其中一个周期 结论5：如果奇函数关于点（）成中心对称，那么是周期函数，其中一个周期 结论6：如果函数的图像关于点（）成中心对称，且关于直线（）成轴对称，那么是周期函数，其中一个周期 结论7：若一个函数的反函数是它本身,那么它的图像关于直线对称。 2. 函数的周期性 对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有都成立，那么就把函数叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。如果非零常数是函数的周期，那么、（）也是函数的周期。 2. 函数的周期性的性质 结论1：如果（），那么是周期函数，其中一个周期 结论2：如果或，那么是周期函数，其中一个周期 结论3：如果或，那么是周期函数，其中一个周期 结论4：如果，那么是周期函数，其中一个周期 结论5：如果，那么是周期函数，其中一个周期 精题选讲 例1：定义在R上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5－x) = f (5+x),则f (x)一定是 (A)是偶函数，也是周期函数 (B)是偶函数，但不是周期函数 (C)是奇函数，也是周期函数 (D)是奇函数，但不是周期函数 解：∵f (10+x)为偶函数，∴f (10+x) = f (10－x).∴f (x)有两条对称轴 x = 5与x =10 ，因此f (x)是以10为其一个周期的周期函数， ∴x =0即y轴也是f (x)的对称轴，因此f (x)还是一个偶函数。故选(A) 例2. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)= －f(x),当0≤x≤1时，f (x) = x，则f (7.5 ) = （ ） (A) 0.5 (B) －0.5 (C) 1.5 (D) －1.5 解：∵y = f (x)是定义在R上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心； 又∵f (x+2 )= －f (x) = f (－x)，即f (1+ x) = f (1－x)， ∴直线x = 1是y = f (x) 对称轴，故y = f (x)是周期为2的周期函数。∴f (7.5 ) = f (8－0.5 ) = f (－0.5 ) = －f (0.5 ) =－0.5 故选(B) 例3.（08湖北卷6）已知在R上是奇函数，且 选A A.-2 B.2 C.-98 D.98 函数的定义域为R，若与都是奇函数，则( D ) A、2009 B、-2009 C 、-2 D.、2 与都是奇函数，， 函数关于点，及点对称，函数是周期的周期函数.，，即是奇函数 例5．已知定义在上的函数的图象关于点对称，且，，，则的值为（ ） A． B． C．0 D．1 为周期的函数，其中。若方程恰有5个实数解，则的取值范围为（ ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为当时，将函数化为方程，实质上为一个半椭圆，其图像如图所示，同时在坐标系中作出当得图像，再根据周期性作出函数其它部分的图像，由图易知直线与第二个椭圆相交，而与第三个半椭圆无公共点时，方程恰有5个实数解，将代入得 令 由 同样由与第二个椭圆由可计算得综上知 例7已知,且. （1）写出的关系式 （2）指出的单调区间。（3）比较的大小 例8. 已知函数是偶函数，当时，有f(x)=，又的图象关于直线对称，求在的解析式. 例9 .已知是定义在[－1，1]上的奇函数，且，若， 恒成立. （1）判断在[－1，1]上是增函数还是减函数，并证明你的结论； （2）解不等式； （3）若对所有恒成立，求实数m的取值范围. 南部中学高2011级第一轮复习资料 第 4 页 共 4 页