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提出问题: 从一块三角形的材料上截下一块圆形的用料,怎样才能使圆的面积尽可能最大呢? 作圆: 使它和已知三角形的各边都相切 已知:△ABC 求作:和△ABC的各边都相切的圆 M N D O就是所求的圆。 作法: 1、作∠ B, ∠ C的平分线BM和CN,交点为O 2、过点O作OD BC。垂足为D。 3、以O为圆心,OD为半径作圆O 2、和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆,这个多边形叫做圆的外切多边形。 概念; 1、和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形。 想一想:根据作法,和三角形各边都 相切的圆能作出几个? 1、什么是三角形的外接圆与内切圆? 2、如何画出一个三角形的外接圆与内切圆? 画圆的关键: 1、确定圆心 2、确定半径 三角形的外接圆的圆心是各边垂直平分线的交点;其半径是交点到顶点的距离。 三角形的内切圆的圆心是各内角平分线的交点;其半径是交点到一边的距离。 三角形的外接圆与内切圆 ①经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆。 ②与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆。 例3 如图,△ABC中,E是内心,∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D. 求证:DE=DB 练习 分析作出已知的锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内切圆,并说明三角形的内心是否都在三角形内. 2、如图,菱形ABCD中,周长为40,∠ABC=120°,则内切圆的半径为( ) (A) (B) (C) (D) 3、如图,⊙O是△ABC的内切圆,D、E、F是切点,∠A=50°,∠C=60°,则∠DOE=( ) (A)70° (B)110° (C)120° (D)130° 例:已知:点I是△ABC的内心,AI交BC于D,交外接圆于E。求证:EB=EI=EC A B C I D E 证明: 连结BI ∵I是△ABC的内心 ∴∠3=∠4 ∵ ∠ 1= ∠ 2, ∠ 2= ∠ 5 ∴ ∠ 1= ∠ 5 ∴ ∠ 1+ ∠ 3= ∠ 4+ ∠ 5 ∴ ∠ BIE= ∠ IBE ∴ EB=EI 又 ∵EB=EC ∴EB=EI=EC 1 2 3 4 5 达标检测 一、判断。 1、三角形的外心到三角形各边的距离相等。 ( ) 2、直角三角形的外心是斜边的中点。 ( ) 二、填空: 1、直角三角形的两条直角边分别是5cm和12cm,则它的外接圆 半径————,内切圆半径————。 2、等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比————。 三、选择题: 下列命题正确的是( ) A、三角形外心到三边距离相等 B、三角形的内心不一定在三角形的内部 C、等边三角形的内心、外心重合 D、三角形一定有一个外切圆 × √ 6.5cm 2cm 2:1 C 4、等边三角形的内切圆半径、外接圆的半径和高的比为( ) (A)1∶ ∶ (B)1∶2∶ (C)1∶ ∶2 (D)1∶2∶3 5、存在内切圆和外接圆的四边形一定是( ) (A)矩形(B)菱形 (C)正方形 (D)平行四边形 巩固练习: A B C I 1、如图,△ABC中,∠A=55度,I是内心 则,∠BIC=————度。 A B C D E F 2、如图,△ABC中,∠A=55度,其内切圆切△ABC 于D、E、F,则∠FDE=————度。 112.5 67.5 A B C O I 三、特殊三角形外接圆、内切圆半径的求法: R= — c 2 r = ———— a+b-c 2 a b c 直角三角形外接圆、内切圆半径的求法 例: 已知:点I是△ABC的内心,AI交BC于D,交外接圆于E。 求证:EB=EI=EC A B C I D E 证明: 连结BI ∵I是△ABC的内心 ∴∠3=∠4 ∵ ∠ 1= ∠ 2, ∠ 2= ∠ 5 ∴ ∠ 1= ∠ 5 ∴ ∠ 1+ ∠ 3= ∠ 4+ ∠ 5
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